CHAPITRE XL

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ.

le P, We

7 460. Au point de vue analytique, intégrer l'équation

dans laquelle f est une fonction donnée des variables x et y, c’est trouver une fonction de x, la plus générale possible, qui substituée à y dans cette équation, y satisfasse quel que soit +. Au point de vue géométrique, c’est-à-dire en considérant x et y comme les coordonnées rectangulaires d'une courbe plane, il faut trouver une courbe telle que le coefficient

angulaire de la tangente en un point quelconque (x, y) de la courbe soit une fonction donnée f(x, y) des coordonnées de ce point.

On appelle intégrale générale de l'équation (1) toute intégrale renfermant une constante arbitraire G non comprise dans l’équation, et dont il est possible de déterminer la valeur de façon que, pour une valeur donnée x, de x, la fonction y preune une valeur y;, assignée d’avance. L’équation (1) résulte de l'élimination de C entre l’intégrale générale et sa dérivée. Toute solution de l'équation (1) qui rentre dans l'intégrale générale par une détermination convenable de la constante arbitraire se nomme une intégrale particulière.

Une intégrale, au contraire, qu’on ne peut déduire de l'intégrale générale par aucune valeur constante attribuée à GC, se nomme une solution singulière de l'équation différentielle.

404. Nous établirons plus loin d’une manière rigoureuse que si, dans une région déterminée T du plan, la fonction f(x, y) satisfait à certaines conditions qui seront précisées, il existe dans cette région une fonction simple y de x qui vérifie l'équation (1), et qui prend pour une valeur donnée x, de x, une valeur arbitrairement donnée y. Par chaque point (Xo, yo) de la région T passe donc une seule intégrale déterminée, ee qui ne peut avoir lieu que si l'expression de y, obtenue par l'intégration, renferme une constante arbitraire C qui permette de choisir à volonté la valeur y, de y qui répond à une valeur donnée x, de x.

Il existe donc une intégrale générale, au moins pour la région T.

Toute intégrale appartenant à cette région est une intégrale particulière, car, Soit y, la valeur de y que donne cette intégrale pour x —%x,; on déterminera la constante C de l'intégrale générale de manière que celle-ci prenne aussi la valeur y, pour x — x, (400); on aura une intégrale particulière, vérifiant l'équation (r) quel que soit x et admettant la même valeury, que l'intégrale donnée, pour une valeur particulière de x; comme il n'existe qu’une seule fonction y de x qui vérifie ces deux conditions dans la région T, l'intégrale particulière se confondra avec l'intégrale donnée.

D’après cela, les conditions qui assurent l'existence de l'intégrale générale nous feront connaître dans quels cas exceptionnels l’équation (1) pourra admettre des intégrales non comprises dans l'intégrale générale, c'est-à-dire des solutions singulières. Mais on peut dès à présent reconnaître une propriété géométrique de ces solutions.

Si, dans une région T, l'équation (1) admet à la fois des intégrales particulières et une solution singulière, la courbe qui représente cette dernière devra toucher, en chaeun de ses point M, la courbe de l’intégrale particulière qui passe par ce point. Car l'équation (1) ne donne qu’une valeur pour le coefficient angulaire de la tangente en un point donné, et comme les deux courbes, solution singulière et intégrale particulière,

vérifient cette équation (1) et passent par le point M, elles ont la même tangente en ce point.

Soit, par exemple, l'équation

dy :

ee ie)

On vérifie sans peine que la fonction

y=2+(2) cs)

satisfait à l'équation quels que soient x et C.

C’est donc là l’intégrale générale. Mais l'équation est aussi vérifiée par l'hypothèse y —x, qui ne peut convenir à une intégrale particulière, puisqu'elle entraînerait l'équation C — x; C ne serait donc pas constant. L’équation y — x représente donc une solution singulière.

On reconnaît facilement 1° que la droite y — x est le lieu des points de rebroussement des courbes du troisième ordre qui figurent les intégrales particulières, et qu’elle les touche toutes en ces points; 2° que la relation y = x rend infinie la dérivée partielle f/(x, y), en sorte que l’une des conditions nécessaires, comme on le verra, pour qu’il y ait en chaque point une intégrale unique, n’est plus vérifiée. L'existence de la solution singulière est donc possible,

40%. L’équation (1) est toujours réductible à la forme (2) Pdx + Qdy = 0, Pet Q étant, en général, des fonctions données de x, y. Cette équation

s'intègre immédiatement lorsque Pdx - Qdy est la différentielle totale

d’une fonction F (x, y) des variables x et y, considérées comme indépendantes. En effet, si l’on a

Pdx + Qdy = d.F (x, y),

l'équation (2) se mettra sous la forme d.F(x, y) —0, et la condition

nécessaire et suffisante pour qu'une telle relation ait lieu est que F(x, y) soit constant. Donc F(z, y) = C sera l'intégrale générale de l’équation (2). On voit, de plus, qu'il n’y aura pas de solution singulière.

Ainsi, l'équation

(== RUN Er RS

étant écrite sous la forme

nous fait voir que son premier membre est une différentielle exacte, et qu’elle a pour intégrale générale

D 2 / Eu.

AS +) ares (4) c.

403. On peut reconnaître dans quels cas Pdx + Qdy estune différentielle exacte, et ramener alors l'intégration à deux quadratures, comme il suit. Si Pdx + Qdy est la différentielle totale d’une fonction F(z, y), on a, comme on sait,

OF OF 0?F 0?F P=—, Q—=—s — — — 0x dy Oy0x Ox0

et par suite

0P 0Q (3) STMot abstraction faite de toute relation entre x et y.

Supposons, réciproquement, que l’identité (3) soit vérifiée, et cherchons une fonction F (x, y) qui ait pour différentielle totale Pdx Qdy. Sa dérivée partielle par rapport à x étant P, cette fonction F est comprise dans l'intégrale indéfinie [ Pdx, y étant traité comme constant et la constante arbitraire de l’intégration étant, en général, une fonction o (y) de y seul. Nous avons donc, en posant Pi — [ P dx,

Fc, y) = [ P dx + (y) =P1+ (y),

et il reste à déterminer o (y) de manière à vérifier, s’il est possible, la

deuxième condition F, (x, y) — Q. On doit avoir, pour cela, OP Us , dP; SNS | 3j 1 PO) =RS RSR S “etcomme œ’ (y) ne dépend pas de x, cette égalité n’est possible que si le second membre est aussi indépendant de x. Pour qu'il en soit ainsi, Il

faut et il suffit que sa dérivée partielle par rapport à x soit nulle, ce qui donne

Q Ô ne 0Q 0 fOPi\ 0Q OP - =? 0x \ dy, Ox dy Ôx )= Ôx 0dy

La relation Fe exprime donc la condition cherchée pour que F (x, y) existe, et la fonction + se trouvera alors par l'équation

p (y) —((0 SE dy,

la fonction sous le signe [ ne renfermant pas x. On aura donc, en

substituant et égalant F(x, y) à une constante arbitraire, l'intégrale générale

(4) [ras + {0 un ere

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que Pdx + Qdy soit une différentielle exacte en x et y s'exprime par l’équation (3), et si Pet Q y satisfont, l'équation (4) fournira l'intégrale générale de l'équation (2).

Ainsi, l'équation |

(x? — 420y — 2y°) dx + (y? — 4xy — 2x?) dy = 0

nous donne OPA Ya, 3 0 PRoQ xs \ dP fPdx = Si — 24% y — 2y°x, Q — Er =",

et l'intégrale générale est, d’après (4), a — Gary — 6y°?x + y5 —

404. Il est un cas remarquable où l’on reconnait que le premier membre de (2) est une différentielle exacte, c'est celui où P est une fonc-

tion X de x seul, Q une fonction Y de y seul,

(5) Xdx + Ydy = 0:

on dit alors que les variables sont séparées. Dans ce cas, en effet, on a

= — 0, { Pdx = | Xdx, Q—— Ve donc [ Xdx + [ Ydy = C

est l’intégrale générale, ce qui se voit d’ailleurs directement. Le problème est alors ramené immédiatement aux quadratures.

Lorsque les variables ne sont pas séparées dans l’équation différentielle même, il suffit quelquefois de la multiplier par un facteur convenable pour opérer la séparation. C’est ce qui a lieu pour toute équation de la forme

X1Y id + X2Y:dy = 0,

X1, X2 ne renfermant que x, Y, et Y: que y. Si l’on divise toute l’équation par ŸiX>2, ce qui exclut l’hypotèse que X: ou Ÿ, soit nul, on a

équation dans laquelle les variables sont séparées et l'intégration se fait comme plus haut.

Ainsi, on met l’équation

(+ y)(1 + x)dz + (1 +?) (1 — y)dy = 0

sous la forme

1+x y ee

et l’on a, par de simples quadratures,

arc 5241 (I + 2?) are 18 y — 2] (1 +y?)= C, intégrale générale que l’on écrit aussi sous la forme

send 2 met I. C CE.

C4 étant une nouvelle constante arbitraire,

403%. Intégration des équations homogènes. — Si la séparation des variables ne s’obtient pas immédiatement, on cherche à la réaliser par substitution, en introduisant dans l’équation, au lieu des variables x, y, deux nouvelles variables convenablement choisies. Souvent, il suffit de changer l’une des variables.

Considérons l’équation homogène (2) Pdx + Qdy —= O, dans laquelle P, Q sont des fonctions homogènes de même degré m par rapport à x et à y (444). D’après la définition des fonctions homogènes,

si l’on divise l’équation (2 pis x”, Pet Q ne dépendront plus que du rapport y : x, et l'équation (2) prendra la forme