Nous supposerons que le premier membre de l’équation du

dy f(e VE à) 0 soit une fonction rationnelle et entière de la dérivée de y, dy\" dy\"- dy Et D (+ (A +++ no

Dis P25 + Pn désignant des fonctions données de x et de y. L'équation étant résolue par rapport à cette dérivée fournira n valeurs de celle-ci, savoir

premier ordre

d d d (2) = fi (x, y), = fa(x, 4) °….) = fa (a 8)

frs f2s «.. fn étant des fonctions simples des variables dans une région déterminée. L’équation (1), mise sous la forme

ES ee »| Es ( 2] TE ETC | 0:

admet comme solution toute solution qui vérifie l’une des équations (2), et elle n’en admet aucune autre. Or, les équations (2) rentrent dans celles du chapitre précédent; elles auront donc les intégrales générales respectives Fi(x,y, C1) = 0, Fa(x, y, C2) = 0, ..…, F(x, y, CG) = 0

que l’on cherchera à trouver par les méthodes exposées; C1, C2,... Cu sont les constantes arbitraires. Mais l’équation (3) Fa (x, y, C1) F2 (x, y, Ge)... F, (x, y, G) = 0 renferme toutes les précédentes et n’en renferme pas d’autre : elle doit donc être considérée comme l'intégrale générale de l’équation (1). D’ailleurs, on peut y remplacer par une même constante C toutes les constantes C1, C2,... C,, sans diminuer la généralité de l’intégrale; car on ne peut satisfaire à cette équation (3) qu’en égalant à zéro séparément les divers facteurs F;, F:,..., et si l’on attribue à C toutes les valeurs possibles, les équations F'(&,y, CO] =0, 08 (4, y;0)—=0 7.

fourniront toutes les solutions que pourraient donner les équations Fi (x, y, Gi) = 0, F2(x, y, C2) — 0. Donc enfin, l'intégrale générale de l'équation (1) sera (4) Fit VO)EZ (x, PAC) (x 7 C0, et ne renfermera qu'une constante arbitaire.

Exemple : L’équation

dy . 9 2 dy 6 3 2 3 dy 3213 ( - (x +ay +3 (9) (ay + dy Hay) — ay 0 fournit les trois valeurs de dy : dx

À Le RNCS NO tn

comme on le voit sans peine. Ces équations ont pour intégrales

3y—=a5+C, 21y—ax?+C, xy—Cy+ti=o, en sorte que l'intégrale générale de la proposée peut s’écrire (3y — 2° — C)(L y? — x? — C) (xy — Cy + 1) — 0. 41%. Si l'équation ne renferme explicitement qu’une des variables X, y et se résout facilement par rapport à celle-ci, on opère comme il suit :

posant dy — pdx, on met l'équation, si elle ne renferme pas y, sous la forme

De là prenant p pour variable indépendante

dx = f(p)dp, dy=pf{(p)dp, y —=C+ Jpf(p) dp,

et cette quadrature fournira la valeur de y en fonction de p. Eliminant p entre cette équation et x — /(p), on aura entre x, y et C l'intégrale générale cherchée. Soit, comme exemple,

ENV E ap