OÙ X

H H — — O, dx? dx 1 + p°

On a donc

et en intégrant

d’où, éliminant p, a? + (y — C)? — «?, ce qui est l'intégrale générale.

De même, si l’équation était réductible à la forme y —/f(p), on

poserait encore dy = pdx, d’où

et une quadrature ferait connaitre æ en fonction de p.

413. Si l'équation est homogène en x et y, on la divise par une puissance convenable de x, de façon qu’elle ne renferme plus que le rapport u = y : x et la dérivée p — dy : dx. On a ainsi une relation qui, résolue par rapport à p, sera de la forme

Mais on «x y—=ux, dy = pdx — xdu + udx, d’où x du du (5) dep = u (0) Les variables sont séparés; on a l’intégrale du Lx —- Ce ( ET A fu) —u

on effectue la quadrature, on remplace w par y:x et l’on obtient l'intégrale de l'équation donnée. Ainsi, l'équation EE

de 74 dy + NS mise sous la forme

p° — 2Up — I — 0, donne la valeur de p

p=utpitu, p—u=+Epi+u;

l'équation (5) devient

dx du

Ce L/1 Lu dont l'intégrale est E Lx Hl.(u+p/r Hu) —=1.0C,

(] + d’où, mettant pour w sa valeur ct passant des logarithmes aux nombres, on a les deux équations

À Part 4 qui répondent respectivement au signe supérieur et au signe inférieur. L'intégrale générale est donc

(2? + y? + y MENT Et 0 ee,

et en remplaçant C; par — C,

ay —y==0C, y +y/at y — Ci,

æ? — 2Cy — C — 0.

4@4. Il arrive souvent qu'en différentiant l’équation proposée, on élimine l’une des veriables x, y, et l'on obtient entre l’autre variable et p une équation différentielle que l’on sait intégrer. Considérons l’équation de Monge (6) y = a f(p) + #(p),

f et @ étant des fonctions données de p seulement. En dérivant et remplaçant dy : dx par p, on a

= fo) + fo) + VOIE

d’où l’on déduit

de. TD) EEMTUTIR dpp—fp) p—fE)

Cette équation est linéaire par rapport à x considéré comme fonction de p. On l’intègre par la méthode connue, on élimine p entre l'intégrale et l’équation (6), et l’on a, entre x, y et C, l'intégrale cherchée.

413%. L’équation de Clairaut est un cas particulier de l'équation de Monge :

(7) = px + p(p)

On en déduit

dp Los 0; équation qui se décompose en deux autres,

ap ASE TE PO Ce DEC

La première donne p—C, et la substitution dans l'équation (7) fournit l'intégrale générale * () y = Cz + p(C).

La seconde donnera pour p une valeur en x qui, mise dans l’équation (7), fournira une solution singulière, car elle correspond à une valeur de dy : dx qui est fonction de x, tandis que l’intégrale générale ne peut

donner pour p que des valeurs constantes. On remarquera que la solution singulière résulterait aussi bien de l'élimination de C entre les équations

Cx+p(C)=y x+p(C) —o, dont la seconde est la dérivée de la première par rapport à C. Ainsi {° l’intégrale générale de l’équation de Clairaut s’obtient en remplaçant p par une constante arbitraire dans l'équation (7); 2° cette intégrale ne représente que des lignes droites; 5° la solution singulière de l’équation de Clairaut représente l’enveloppe de ces droites, propriété qui s’accorde avec ce qui a été dit au N° 401.

Exercices.

d + . M — 4 H+s=0. R.(y—C)— 40 (y — CG) #32 —0.

2 a | . (— s)-1 (+) 0: R.æ—Cæ+zarcsinV/ y+2V/ 1 —y.

dy” 5 à 3. 2 PP Out R. (4y — Cÿ = 27 (x — 1).

dy" y° \ dy° k a (oo + 2) tom 0 R. [y — C}?— 25] (y — Cx) (xy — C) — 0.

R. y V/y® + nat — Cx

dy dy dy?

— A, — — — : — C en C e SE dx dx dx? ot QAR )

Solution singulière : 4y =(x +1}.