PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE

61. On dit qu’une variable x varie dans un intervalle (a, b) lorsqu'elle peut recevoir toutes les valeurs réelles depuis + — a jusqu'à x — b, inclusivement (1).

On dit qu’une variable y est fonction de x dans l'intervalle (a, b) lorsque, à toute valeur déterminée de x appartenant à l'intervalle, correspondent une ou plusieurs valeurs déterminées de y, de quelque manière que cette dépendance s’établisse. On représente une fonction de x par la notation f(x), ou F(x), ou g (x), ou d’autres du même genre.

Les expressions tirées de l’algèbre et de la trigonométrie, lorsqu'elles renferment une variable x, sont des fonctions de celle-ci; telles sont

a—bx", logx’, sin2x, etc.

On en a choisi un certain nombre que l’on nomme fonctions élémenaires, Savoir :

ax; x, FA*, Sin Te COS TRE Ce ECS,

(1) Nous supposerons habituellement, sauf indication contraire, a < b.

AD

et leurs inverses

a—x, x‘, logzx, arcsinx, arccosx, ete.

Dans ces expressions, a est une constante positive ou négative, À une constante positive; log. désigne le logarithme pris dans un système à base quelconque A; les fonctions trigonométriques se rapportent toujours à un cercle dont le rayon est pris pour unité de longueur.

Une fonction f (x) est explicite lorsque son expression au moyen de la variable x est donnée en symboles connus; elle est implicite dans le cas contraire. Dans l’équation |

log x + log y = 7x,

y est fonction implicite de x. Une fonction explicite est algébrique lorsque, dans son expression, la variable n’est soumise qu’aux opérations fondamentales, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'élévation à des puissances constantes, en nombre limité. Elle est transcendante dans le cas contraire. Une fonction algébrique est rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, dans les cas définis en algèbre. Ainsi

a + dx + ex? +. + ka est une fonction rationnelle et entière de degré n.

On représente géométriquement une fonction de x en portant sur l’axe des abscisses, à partir de l’origine, des longueurs OP représentant les valeurs de la variable x, et élevant, à l’extrémité de chacune de ces longueurs, une ordonnée PM mesurée par la valeur correspondante de la fonction. Le lieu des points M obtenus de cette manière donnera la figuration géométrique de la fonction.

62. Lorsque la fonction f(x) n’admet qu’une seule valeur pour chaque valeur de x dans un intervalle (a, b), nous disons qu’elle en est une fonction simple. C’est de ces fonctions seulement qu’il s’agira dans les propriétés générales que nous allons établir dans ce chapitre et dans les suivants.

Taéorëme L. — Toute fonction simple f (x) qui, dans un intervalle (a, b) de la variable, reste toujours comprise entre deux valeurs fixes À et B, A <B, admet dans cet intervalle une limite minimum l telle que 1° aucune valeur de la fonction ne peut étre moindre que l; 2° la fonction admet la valeur l ou des valeurs qui en diffèrent d’une quantité moindre que toute grandeur donnée €,

Partageons la différence B— A en n parties égales « — » et

considérons la suite des valeurs A, Aa, A2a, .…, A+(n—tia, A+na—B.

La fonction f(x) restant comprise entre À et B, désignons par A'= A<+pa le plus grand des termes de cette suite qui est tel qu’aucune valeur de f(x) ne puisse devenir moindre que A’. S'il existe des valeurs de x.pour lesquelles f (x) — A’, A’ est la limite cherchée |; sinon, on aura toujours f(x)> A’, et il y aura des valeurs de x pour

lesquelles f(x) sera < A’ — 4. Raisonnons sur l'intervalle (A’, A’ + à) comme sur l'intervalle (A, B) : soit

il existera un plus grand terme A’ + p'a’ — A” (p’ entier) tel qu'aucune valeur de f(x) ne sera inférieure à A”, et si f(x) admet des valeurs égales à A’, A/’ sera la limite minimum /; sinon, il existera des valeurs de f(x) comprises entre À’ et A’ + a’. Partageant de nouveau cet intervalle en

en NES n parties égales à

» et continuant de même, on formera une suite de

quantités croissantes (ou non décroissantes). !

A, A , AE .. Am), ..e

telle que f(x) n'aura, dans l'intervalle (4, b), aueune valeur inférieure à ces quantités. Si f(x) peut acquérir la valeur A”, la suite s'arrête et A(” est la limite cherchée; sinon, la suite est indéfnie et tend (49) vers une limite fixe L. Je dis que L est la limite minimum cherchée, car 4° la fonction f(x) ne peut jamais acquérir une valeur inférieure à /, sans quoi, la différence / — A" finissant par devenir moindre que toute grandeur donnée lorsque m croît à l'infini, f(x) pourrait acquérir des valeurs plus petites que At” ; 2° la fonction f(x) acquerra des valeurs aussi voisines qu’on le voudra de !, puisqu'il existe toujours des valeurs de f(x) plus grandes que A" et plus petites que A°" H atm-1), quantités que comprennent {et qui diffèrent l’une de l’autre d’une quantité moindre que toute grandeur donnée €.

On verrait semblablement que, dans les mêmes conditions, la fonction f(x) admet une limite maximum L telle que 1° aucune valeur de la fonc-

y} y Pt

tion ne peut surpasser L; 2° la fonction admet la valeur L ou des valeurs qui en diffèrent d’une quantité moindre que toute grandeur donnée :.

La différence L —- / se nomme l’oscillation de la fonction dans l’intervalle (a, b).

Remarque.— Soit (a’, b’) un intervalle faisant partie de l'intervalle (a, b), c’est-à-dire tel que l’on ait a > a, bb; la limite maximum dé f(x) dans l'intervalle (a’, b’) sera € L, sa limite minimum sera >> /, en sorte que l’oscillation de la fonction dans l'intervalle (a, b’) sera <(L — b). Si l’on décompose l'intervalle (a, b) en plusieurs autres, (a, &), (ai, Ga), +. (ün 1, D), la même remarque s’appliquera à chacun de ces intervalles, mais, de plus, il est clair qu’il y aura au moins un de ces intervalles partiels dans lequel la limite maximum de f(x) sera égale à L, et au moins un dans lequel sa limite minimum sera égale à L.

63. Continuilé des fonctions. — Une fonction simple f(x) est dite continue pour une valeur & de la variable, lorsque la différence f(x + h) — f(&) est infiniment petite en même temps que h, quel que soit le signe de À; ou, en d'autres termes, lorsque f(x + h) a pour limite f(x) lorsque h tend vers la limite zéro (47). |

Cette définition suppose essentiellement que f(x) ait une valeur finie et déterminée.

Pour abréger, on désigne souvent par f(« — o) la limite vers laquelle converge f(x + h) lorsque h tend vers zéro en restant négatif, et par f(aæ + o) sa limite, k restant positif. On peut, d’après cela, dire encore que la fonction est continue pour la valeur à de la variable lorsque l’on a

fa —o)= f(x) — (4 +o).

On voit sans peine que si f(x) est différent de zéro pour une valeur & de la variable pour laquelle cette fonction est continue, le signe de f(x) sera le même que celui de f(x), pour toute valeur de x suffisamment voisine de «.

Une fonction, qui cesse d’être continue pour une valeur «& de la variable, cst dite discontinue pour cette valeur. D’après les définitions ci-dessus, cela peut arriver

1° Ou bien parce que la fonction devient infinie pour æ — a, ce qui signifie que la valeur de f(x) finit par surpasser constamment toute quantité donnée lorsque x tend vers la limite «, et que, pour x — c, la

fonction x : f(x) acquiert la valeur zéro. Ainsi la fonction tg x est infinie

Tr LI pour æ ——; la fonction poureT=EvMelc.

x— a 2° Ou bien, parce que la fonction devient indéterminée pour x = «. Tel

s s AIL . UNS est le cas de la fonction sin - pour x — 0. La fonction est généralement

finie et déterminée, mais si l’on fait tendre x vers la limite zéro, la valeur de la fonction oscille entre — 1 et +-1 sans converger vers aucune valeur fixe ; f(o) n’existe pas, non plus que f( 0), f(— 0). 5° Ou bien, parce que la fonction éprouve une variation brusque de valeur pour x — «. Considérons la fonction et8® — 1]

Tee

Sa définition ne fournit aucune valeur déterminée pour x = 7 : 2. Mais si l’on fait tendre x vers cette valeur, d'abord en croissant, tÿg x > o, et8* croit indéfiniment, lim f(x) — r. Si x tend vers la limite 7 : 2 en décroissant, tg x < o, et&% a pour limite zéro, lim f(x) = — 1.

T T Tr Ici, 10 n'existe pas, (C - o) et 1É — o) existent, mais ont des

valeurs différentes ; la fonction est discontinue. Considérons encore la fonction définie par l’équation

ACER + sin 7x) — Le LE) en EN (E + sin rx) + 11

Pour toutes les valeurs x — 0, 1, 2, ..., on a sin rx — 0, (1 + sin rx) 1, et/(t) 0:

Pour une valeur quelconque de x > o et <r, sin rx est > 0, 1 +-sin rx surpasse l'unité, et lim (1+sin xx) est infini; donc f(x) — 1. Si l’on a 1 <x <2, sin rx est négatif, lim (r + sin rx) — 0, f(x) — — 1; et ainsi de suite. La figuration géométrique de la fonction se compose d’une série de droites égales, parallèles à l’axe des x, alternativement placées au-dessus et au-dessous de cet axe, et de points isolés situés sur l’axe des x. Pour chaque valeur entière de x, ona

f(&)=0, f(x to) = Er, fo) Set la fonction est discontinue pour toutes les valeurs entières de la variable. 64. Remarques. — 1° Une fonction peut être continue par une valeur «

Rogtee

de la variable, quoiqu’elle n’admette que des valeurs rationnelles pour toute valeur de x comprise dans un intervalle auquel appartient «, car f(a« + h) peut s'approcher indéfiniment de f(x) par des valeurs rationnelles seulement. On peut même concevoir et représenter analytiquement des fonctions qui sont continues pour toute valeur irrationnelle de x, et discontinues pour toute valeur rationnelle.

3° Lorsqu'une fonction f(x) est généralement continue, mais que, pour une certaine valeur particulière « de la variable, l’expression qui la représente ne donne plus aucun résultat déterminé, comme on en a vu plus haut des exemples, la fonction n’existe plus, à proprement parler. Toutefois, si f(x + o) et f(x — o) existent et sont égaux, on est convenu, pour conserver le caractère de la continuité, d'attribuer à f(x),

pour x —«, cette valeur limite. C’est ainsi que l’on dit que se est égal à 24 pour æ—«, que A*— 1 pour æ—0o, etc..., et la détermination de ces valeurs-limites est un des objets du caleul différentiel.

65. La fonction simple f(x) est dite continue dans un intervalle (a, b), a < b, lorsqu'elle est continue pour toute valeur de x comprise entre

a et b, et que l’on a, de plus, fa+o)=—f{a), f(b—0o)=/f().

Nous dirions que la fonction f(x) est continue dans l'intervalle (a + 0, b — o) si ces deux dernières conditions manquaient, dans l’intervalle (a + 0, b) si la première seule manquait, ete.

Enfin, la fonction est dite continue dans le voisinage d’une valeur « de x, lorsqu'elle est continue dans un intervalle (œ — €, « Le), € étant une quantité positive, quelque petite qu’elle soit.

66. Propriélés générales des fonctions continues. — Outre la propriété du N° 62 qui appartient même aux fonctions discontinues, les fonctions continues possèdent des propriétés spéciales très importantes que nous allons étudier.

THÉoRèME IT, — La fonction f(x) étant continue dans un intervalle (a, b), 81 f(a) et f(b) sont de signes contraires, il existe au moins une valeur £ de x, comprise entre a et b, telle que l’on ait f(E) = 0.

Pour fixer les idées, supposons f(a) < o, f(b) > o. Partageons l’inter-