EX

Lay se.) Xn 1, 0 deux termes eonsécutifs, a, et b1, donnant des signes contraires pour f(x), donc tels que l’on ait f(a) < 0, f(b1) > o.

Partageons de même l'intervalle (a:,b,) en n parties égales à (b1—a):n ou à (b — a) : n°; nous verrons de même qu'il ya au moins un de ces intervalles, soit (a2, be), tel que l’on ait f(a:) < 0, f(b:) > o; et ainsi de suite. On forme ainsi une suite de valeurs croissantes a, &, a2 ... dy, ... et une suite de valeurs décroissantes b, bi, ba .… b,, telles que f’on aura toujours f(a,) <o, f(b,) > o, et ces deux suites convergent vers une limite commune, puisque la différence

b, — p —= ne a pour limite zéro lorsque p croit indéfiniment

Soit donc lim a, — limb, — 6. Si f(Ë) était différent de zéro, f(£) et f(a,) seraient de même signe, ou négatifs, d’après une remarque faite plus haut, la fonction étant continue pour x — &. Un raisonnement semblable montrerait que f(é) et f(b,) finissent par être de même signe ou positifs, et comme ces deux résultats se contredisent, il faut que l’on a (6) 0:

On raisonnerait de même si l’on avait f(a) > o, f(b) < o.

67. Tuéonème III. — Si la fonction f(x) est continue dans l’intervalle (a, b), et si À désigne une quantité comprise entre f(a) et f(b), à existe une vuleur Ë de x, comprise entre « et b, telle que l'on ait

En effet, la fonction f(x) — A est, comme f(x), continue dans l’intervalle (a, b); elle admet, pour x — «a et x — b, des valeurs

f(a)— A, f(b) —A qui sont de signes contraires d’après l’hypothèse; donc, d’après le

théorème IL, elle s’évanouit pour une valeur ë de x qui est > a et < b, doncon a

Dis

On exprime cette propriété en disant qu'une fonction continue ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermé-

. L L La LU L LA . . I diaires, mais la réciproque n’est pas exacte. Ainsi la fonction sin—; à E

laquelle on attribuerait la valeur zéro pour x — 0, ne serait pas continue dans le voisinage de cette valeur, comme on l’a vu, et cependant elle passe par toutes les valeurs comprises entre — 71 et +1 dans le plus petit intervalle comprenant la valeur + — o.

68. Tuéorème IV. — Une fonction f(x), continue dans un intervalle (a, b), atteint dans cet intervalle sa limite maximum L et sa limite minimum L.

Partageons l'intervalle (a, b) en n parties égales à (b — a) : n. D’après une remarque faite plus haut (62), il y aura un de ces intervalles, au moins, dans lequel la limite maximum de la fonction sera L. Soient «4, b: les valeurs de x qui comprennent cet intervalle. Divisant l'intervalle («1, bi) en n parties égales à (b — a) : n°, on verra de même que l’un de ces intervalles partiels admettra la limite maximum L pour la fonction f(x). Soit (a, be) cet intervalle. En continuant à raisonner de la même manière, on formera une suite de valeurs croissantes a, &1, ... a, .… et une suite de valeurs décroissantes b, bi, … b,, telles 4° que dans l’intervalle (a, b,) la fonction f (x) admettra toujours la limite maximum L ; 2° que la différence b, — a, — (b — a) : n? aura pour limite zéro lorsque le nombre p croîtra indéfiniment, de sorte que les suites à, &1, +, .…..; b, b,, be, .. convergeront vers une limite commune Ë,

lim ap — lim b, == nl p=

La limite £ appartenant à l'intervalle (a, b), la fonction est continue pour x —Ë; on peut donc déterminer un nombre Ô tel que, x variant dans l’intervalle (£ — 9. £ + d), la valeur absolue de f(x) — f(£) restera constamment moindre qu’une quantité arbitrairement petite donnée &, De plus, on peut attribuer à p une valeur suffisamment grande pour que a», b, soient compris entre £ — d, £ +9, en sorte que, dans l’intervalle (a, b,), on aura constamment

M [f(x) — FN <e:

Mais la limite maximum de f(x) étant L dans l'intervalle (a,, b,), il existe (62) dans cet intervalle une valeur x’ de x telle que l’on ait

ON Nous aurons donc L—f(E)=[L— f()]+ Le") — FE) < 2e.

La différence L — f(£) peut donc être supposée moindre que toute grandeur donnée, et comme elle est déterminée, elle ne peut être que zéro. On a donc

fÉ)=L.

On verrait de même que la fonction atteint effectivement sa limite

minimum / pour une valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b). Remarques. — 1° Il pourrait se faire que l’on eût

Qi —= 2°: = G°e =, ou bb = Tr

auquel cas on aurait Ë — a ou Ë —0b, la fonction atteindrait sa limite maximum ou minimum pour l’une des valeurs extrêmes de x. La démonstration se ferait de même, avec quelques modifications faciles à apercevoir. Tel est le cas, par exemple, où la fonction est constamment croissante avec x : on a alors

2° Le théorème IV ne subsiste pas pour une fonction discontinue. Considérons la fonction

f(&)= x —E (x), E (x) désignant le plus grand nombre entier compris dans x, et soient a—0, b— 3:2. La fonction est égale à x dans l'intervalle (0, 1 — o) où E(x)— 0; à x — 1 dans l'intervalle (1, 3 : 2); elle passe brusquement de 1 à o pour x — 1. La limite maximum de f(x) est r, elle n’est atteinte pour aucune valeur de x dans l'intervalle (0, 3 : 2).

69. Tuéorème V. — La fonction simple f(x) étant continue dans l’intervalle (a, b), soit & une quantité arbitrairement petite; il est toujours possible de trouver un nombre d tel que, si l’on partage l'intervalle (a, b) en intervalles égaux ou inférieurs à 9, l’oscillation À de la fonction dans chacun de ces intervalles sèra moindre que &.

Divisons l'intervalle (a, b) en n parties égales à (b—a):n; chacun de ceux-ci en n intervalles égaux à (b—a):n°, et ainsi de suite. On arrivera ainsi à des intervalles (b—- a) : n° qui satisferont à la condition imposée, et À sera égal à (b — a): n?, ou bien on n’y arrivera Jamais, quelque grand que soit p, et dans ce cas, comme l’oscillation de la fonction dans un de ces intervalles ne peut que rester constante ou