Si l'on a, L étant fini et déterminé

et si /(x) ne peut pas croître ou décroître indéfiniment dans aucun intervalle fini, on aura aussi

lim f(x)* = L.

Le théorème subsiste si L est infini.

R. Se déduit de æ en posant. f(x) — + (x).

&. Toute fonction qui reste finie pour toute valeur finie de æ et qui satisfait, pour des valeurs quelconques de x et de y, à la relation

fe + y) = f(x) + (y),

est de la forme f(x) — ax, a constant.

R. On déduira successivement de la relation donnée (0) = 0, f{ — x) — — f (x), f{næ) = nf (x), (n entier quelconque), d’où ASS lim Die) .

% n=w NX Puis, posant /(1) = a, on aura [K@ +1) — (x) — a quel que soit æ, d’où l’on conelura, par l’ex. æ et par l’équation ci-dessus, que f(x): x —a. 3. La seule fonction f(x) qui, restant finie par toute valeur finie de x, satisfait à légalité | Êe + y) = f(x) (y), est la fonction f(x) — A*, A constant, R. On posera I, f(x) — + (x) et on appliquera la propriété de l’ex, 6.