OP

décroiître lorsque p augmente (62), il existera nécessairement un intervalle (a, b) égal à (b — a) : n, dans lequel À surpassera €; dans cet intervalle, un autre (a2, b:+) égal à (b — a): n? dans lequel on aura encore À > €; dans celui-ci un troisième (as, b;) égal à (b — a) : n5 jouissant de la même propriété, et ainsi de suite jusqu'aux intervalles de grandeur (b — a) : n?. Mais comme, d’après l'hypothèse, p peut croître indéfiniment, la suite de quantités croissantes à, &1, Ge, .. a, .… tend vers une limite &, et la suite décroissante b, b,, be, ... b,, … tend vers la même limite &, car (b — a): n° décroit indéfiniment lorsque p tend vers l'infini.

La-fonction f (x) étant continue pour x = £, on pourra déterminer un intervalle (£—9,Ë-—+-d) dans lequel l’oscillation de la fonction soit moindre que € (638). D’autre part, a, et b, ayant pour limite £, on peut prendre p suffisamment grand pour que l'intervalle (a,, b,) soit compris dans l'intervalle (£ — 9, 6 + d), en sorte que l’oscillation de la fonction serait moindre que € dans l'intervalle (a,, b,) ce qui serait contraire à ce qui a été supposé plus haut. Cette seconde hypothèse est donc fausse, et il existe une valeur déterminée de p telle que, si l’on partage l’intervalle b — a en n? parties égales, l’oscillation À sera moindre que € dans chacun de ces intervalles.

20. Taéorème VI. — La fonction f (x) étant continue dans l'intervalle (a, b), il est possible d’assigner un nombre À el que la différence f(x) — f(x’) soit, en valeur absolue, moindre qu’une quantité arbitrairement petite donnée €, x et x’ étant deux valeurs quelconques de x appartenant à l’intervalle (a, b), et telles que l’on ait

VA (x — x') < 0.

En effet, commençons par partager l'intervalle (a, b) en intervalles plus petits d, égaux entr’eux, et tels que dans chacun d’eux l’oscillation A de la fonction soit moindre que € : 2, ce qui est possible d’après le théorème précédent. Cela fait, considérons deux valeurs x et x’ de la variable telles que l’on ait

Ou bien elles tomberont dans un même intervalle 9, et il est clair, dans ce cas, que l’on aura

fu VE

ou bien, elles tomberont dans deux intervalles contigus d, et d+, séparés par une valeur x, de x, et dans ce cas l’on aura

M f(x) — fe) < 2 VAL) —f{) <<»

d’où M [f(x) — f(x) < ce qu’il fallait prouver.

34. TuéorèME VII. — Une fonclion f(x) qui est définie, dans un intervalle (a, b), pour toutes les valeurs de x satisfaisant à une certaine loi telle qu’il existe un nombre indéfini de ces valeurs dans le plus petit intervalle, et qui est supposée eontinue, est définie pour toutes les valeurs de la variable.

Soit x’ une valeur quelconque de x dans l'intervalle (a, b), et prenons une suite de valeurs x, x, ..., x, .. qui satisfont à la loi pour laquelle la fonction est définie, et qui tendent vers la limite x’. Une telle suite est possible, d’après l'hypothèse, puisque tout intervalle arbitrairement petit (x’, x’ + €) renferme un nombre indéfini de ces valeurs de x. Les valeurs correspondantes f(x1), f(x), ..., [(x,) .… de la fonction, en vertu de la continuité, doivent tendre vers une limite égale à f(x’). Donc f (x') est déterminé et égal à lim f(x,).

22%. Taéorème VIII. — Si y — f (x) est une fonction simple continue de x dans un intervalle (a, b) et u — œ(y) une fonction simple continue de y dans l'intervalle des valeurs correspondantes de y, u sera fonction simple et continue de x dans l’intervalle (a, b).

Soit x une valeur de la-variable appartenant à l'intervalle (a, b); pour un accroissement k donné à x, l'accroissement k = f(x + h) — f(x) de y sera infiniment petit en même temps que ; d'autre part, (y + k) — o(y) représente l’accroissement de w, et comme il est infiniment petit en même temps que k, il sera aussi infiniment petit en même temps que h, ce qui entraine la propriété énoncée.

23. Supposons que, dans le voisinage d'une valeur « de la variable x, y — f(x) soit une fonction simple continue de x, et posons Ê — f(x). A chaque valeur de x répond une seule valeur de y; donc, à chacune de ces valeurs de y répond au moins une valeur de x; nous admettrons qu'il n'y en ait qu’une seule, d’où il résulte que y varie toujours dans le même sens dans le voisinage de la valeur « de x. On peut donc dire

nil: dm

que x est une fonction simple œ(y) de y dans le voisinage de y — f. Cette fonction est continue. En effet, e étant arbitrairement petit; aux valeurs de x comprises dans un intervalle (4 — :, 4 -L €) correspondent, d’après le théorème III sur les fonctions continues, toutes les valeurs que peut admettre y dans un intervalle correspondant (6 — n, fi +»), ñ et n’ décroissant indéfiniment avec s. Done, puisque (y) est une fonction simple de y, à toute valeur de y dans l'intervalle (5 — 1, 54») corréspondra une seule valeur de x comprise dans l’intervalle (4 — e, & + €), intervalle qui décroît indéfiniment avec n ou »/, ce qui démontre la proposition.

Supposons maintenant # — fi (x), fa étant une fonction simple et continue dans le voisinage de x — «. Sous les conditions du théorème précédent, # pourra être considéré comme une fonction simple et continue de y dans le voisinage de y —f. En effet, x étant une fonction simple et continue de y, comme on vient de le voir, f1(x) une fonction simple continue de x, il résulte du N° 72 que w sera une fonction simple continue de y.

24. La définition de la continuité suffit pour vérifier si une fonction donnée explicitement est continue, et dans quels intervalles elle jouit de cette propriété. On s’assure ainsi que les fonctions élémentaires sont continues dans tout intervalle où elles restent réelles et finies. Par exemple, pour la fonction exponentielle, on à

AztA NAS (A CE 1),

et le facteur A! — +1 ayant pour limite zéro si h est infiniment petit, tandis que A a une valeur déterminée et finie, on voit que l’aceroissement de A* est infiniment petit en même temps que h; cette fonction est continue dans tout intervalle de la variable x. De même pour x” (m entier et positif), sin x, ete... On reconnaît aussi, à l’aide des théorèmes sur les limites énoncés au N° 24, que toute fonction rationnelle et entière de x est continue dans tout intervalle; qu’il en est de même d’une fraction rationnelle, dans tout intervalle qui ne renferme aucune valeur de x pour laquelle le dénominateur s’évanouisse, etc... Nous supposons tous ces détails établis dans les éléments.

D ee

Exercices.

4. Si æ et æ’ désignent des variables qui croissent indéfiniment d’une manière quelconque, et si le rapport f(x’) : f(x) a pour limite l'unité, /(x) tend vers une limite finie et déterminée lorsque x croît indéfiniment.

R. On prouvera 1° que f(x) ne peut croître au-dessus de toute grandeur quand x tend vers l'infini; 2° que f(x’) — f(x) a pour limite zéro.

2. Si f(x), » (x) sont deux fonctions telles que, æet x’ croissant indéfiniment, la différence + (æ’) — f(x) ait pour limite zéro, f(x) et ? (x) tendent vers une même limite finie.

R. On prouvera d’abord que f(x’) — f(x) a pour limite zéro, puis on appliquera le théorème 4.

æ. Si f{e + 1) — f(x) tend vers une limite déterminée L lorsque x tend vers l’infini, et sif(x) ne peut croître indéfiniment pour aucune valeur finie de x, on aura aussi

R. On prouvera d’abord que l’on a

(ie Fe) CAES

< étant aussi petit qu’on le veut, x, une valeur de x fixe et prise suffisamment grande, ñ un nombre entier aussi grand qu’on le veut, » une quantité comprise entre + 1 et—1. Posant ensuite x — æ, + n et faisant croître n indéfiniment, x, restant constant, on verra que

d’où l’on tirera le théorème énoncé.

4, Si f(x + 1) — f(x) croît indéfiniment avec x dans les mêmes circonstances, il en sera de même du rapport /(æ) : æ.

Démonstration analogue.