AUS APR

= 32 + 3x + he,

dont la limite est 3x? lorsque h tend vers zéro, quel que soit le signe de h.

Celle limite du rapport des accroissements correspondants de f(x) et de x, lorsqu'elle existe, se nomme la dérivée de f(x) et se désigne par f” (x) ou par Dy, ou, lorsqu'il est utile, par D,y.

eann tite) Au

26. Lorsqu'une fonction admet une dérivée pour une valeur x de la variable, elle est continue pour cette valeur, car le rapport Ay : Ax ne tendrait pas vers une limite finie si f(x + h) — f(x) ne tendait pas vers zéro en même temps que k. Mais la fonction peut être continue sans que la dérivée existe : 1° la limite de Ay : Ax peut différer suivant que tend vers zéro par des valeurs positives ou par des valeurs négatives. Par exemple, dans la fonction

Gal

à laquelle nous devons attribuer la valeur zéro pour x — 0 (46, 5°), la limite du rapport Ay : Ax pour cette valeur x — o est

MU (She si hA>o,

lim — PROPRES ASE SLR CO:

2 Le rapport Ay : Ax peut croître indéfiniment, À tendant vers zéro. Ainsi, la fonction

pour x — 0, donne

ce rapport a pour limite « , quel que soit le signe de h. La fonc-

tion r—-x°, pour æ —o, donne oo ou —c pour la limite du rapport Ay : Ax, suivant le signe de h. Par extension, on dit souvent dans ce cas que la dérivée est infinie pour une telle valeur de x.

5° Le rapport Ay:Ax peut osciller entre certaines valeurs sans tendre vers une limite déterminée, Tel est le cas, pour la valeur x — 0, de la fonction

f(x) = x sin —»

en admettant que f(o) — o.

4° Enfin, on a même reconnu que ces singularités peuvent se présenter non seulement pour des valeurs particulières et isolées de la variable, mais pour des valeurs existant en nombre indéfini dans le plus petit

intervalle, ou même pour toutes les valeurs possibles de la variable, sans que la fonction f(x) cesse d’être continue (1).

Remarque. — D’après ce qui a été établi au N° 56, si y — f(x) est l'équation d’une courbe plane, f’(x) représentera le coefficient angulaire de la tangente au point dont l’abscisse est x. L'existence de la tangente en un point d’une courbe est donc liée à celle de la dérivée dans la fonction qui représente l’ordonnée.

27. Règles de dérivation. — 1° Soient u, v, w,.… des fonctions de x, continues et ayant une dérivée pour une valeur x de la variable. Pourun accroissement Ax de x, on aura

Au + 0 — ww +...) — Au + Av — Aw H …., A(uHu—w—+#.…) Au, Av Aw

Ax . Ax |! Ax Ten

et, en faisant tendre Ax vers zéro, en vertu des théorèmes connus (24), .. A(u+v—w+..… (1) lim SEE put o we) — Du + Dv—Dw—+ La dérivée de la somme algébrique de plusieurs fonctions est la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

On en conclut, a étant constant, D (u + a) — Du, c’est-à-dire que l’addition d’une constante à la fonction ne change pas la valeur de la dérivée.

2° On a ensuite Auv) — (u + Au) (v + Av) — uv = vAu + uAv + AuAv, d’où A (uv) Au Av , Au = V— — + —. Av.

Ax D A Egalons les limites des deux membres et observons que, Au : Ax ayant une limite finie, son produit par Av tend vers zéro; il viendra

(2) D.uv — vDu + uDv.

Si v se réduit à une constante a, Dv — 0, on a donc

D.au — aDu.

(1) Voir la note I à la fin du volume,

ri)

La dérivée du produit d’une fonction par une constante est le produit de la constante par la dérivée de la fonction. On aura, par la même règle, Duvuw — vwDu + uD.vw = vwDu + uw (wDv + vDw)

ou D. uvw — vwDu + uwDv + uvDw,

et en général, quel que soit le nombre des facteurs,

Du , Do, Dw (3) D ,uvw --: —= uvw -:: + ete).

Si l’on fait u — v — w = : - et le nombre des facteurs égal à m, on en déduit (4) D.u" = mu”! Du.

Les règles 1° et 2° suffisent pour trouver la dérivée de toute fonction rationnelle et entière de x.

5° Poür trouver la dérivée d’un quotient, on a, v étant supposé différent de zéro pour la valeur de x considérée,

pH v vvE Ar)

Divisant par Ax, faisant tendre Ax vers zéro et par suite Av, on aura u vDu — uDv G) DS Ent

Supposons successivement « €t v constants, nous déduirons de cette

formule Or.

ZS. Soient, dans le voisinage de la valeur de x que l’on considère, y — f(x), u = (y) des fonctions simples continues; w est donc (72) une fonction simple continue de x, dont on cherche la dérivée D,w, connaissant les dérivées f” (x) et +’ (y) des fonctions f et o. Soient Ax l’accroissement infiniment petit de x, Ay et Au les accroissements correspondants de y et de w. On a identiquement, Ay n'étant pas nul,

et en faisant tendre Ax vers zéro et égalant les limites des deux membres,

Diu = g’ (y): f(x).

La dérivée de u par rapport à x est le produit des dérivées de u par

rapport à y et de y par rapport à x.

indéfiniment décroissantes de Ax, f’ (x) ne pourrait être que zéro pour cette valeur de x; d’autre part, le raisonnement précédent s’appliquant pour les valeurs de Ay différentes de zéro, la limite de Au: Ax serait toujours déterminée de la même manière et D.,u serait nul aussi.

Le théorème se généralise : soit z — Ÿ (u) une fonction dont la dérivée est / (u). On aura, z étant fonction de x,

Dez = Q'(u)-9 (y): f(x), et ainsi de suite. C’est la règle de la dérivation des fonctions de fonctions.

Ainsi, a étant une constante, on verra en posant successivement

Y—=A+HX, y —AX, que D,q(a+x)=(a+x), D,p(ax) — ap (ux), ete.

49. Soit encore y — f(x) une fonction de x simple continue dans le voisinage d’une valeur donnée de cette variable, et x — © (y) la fonction inverse, simple et continue (78). Si Ax, Ay désignent les accroissements infiniment petits correspondants des variables, on a identiquement Ax .Ay Ax Ay

— — 1: d’où Im— — 1 : lim— Ay I AE! ou qu, I Im?

On peut supposer Ay Do, car si Ay était nul pour une suite de valeurs

ou, en supposant [' (x) 2 O,

Dix = q(y) = 1: f'(x).

La dérivée de x par rapport à y est la réciproque de la dérivée de y par rapport à x.

C’est en cela que consiste la règle des fonctions inverses.

80. Des différentielles. — La dérivée f’ (x) d’une fonction y de « étant la limite du rapport de deux infiniment petits, on a jugée utile de la représenter par un vrai rapport, et l’on a nommé différentielles des variables y et x deux quantités dont le rapport est égal à la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de y et de x.

Lg, Jr

Ces différentielles s’indiquent par la caractéristique d devant la variable. Ainsi l’on a, par définition,

CE EMEA EN Lee à AV:

— f(x) = lim.

dx fa) Ax

L'une de ces deux différentielles peut être prise arbitrairement; on suppose toujours que ce soit celle de la variable x qu’on appelle la variable indépendante. Ainsi dx est arbitraire, dy est le PHOBDSS f’(x) dx de la dérivée de y par la différentielle de x.

Voici quelques propriétés des différentielles :

AA A lim = l'(x), += l'a) +0, d’où Ay = f'(x)Ax + oAx.

Le second terme est infiniment petit par rapport à Ax et conséquemment par rapport à Ay; d’autre part, dx peut être pris égal à Ax; on a donc

Ay=f{x)dr = dy, en négligeant un infiniment petit par rapport à Ay. Donc, en prenant la différentielle de la variable indépendante égale à son accroissement infiniment petit, on pourra aussi prendre la différentielle de la fonction au lieu de son accroissement, dans les cas (47 et AS) où il est permis de négliger une partie infiniment petite par rapport à cet accroissement.

2° On a vu que siy — f(x), u — E (y) sont deux fonctions qui dépendent dex,ona

r du Du p(y) f(x), où (y). f(x),

du étant la différentielle de « définie ei-dessus. On en déduit

du = o'(y):f{) dx = (y) dy, “car dy = f'(x) dx; ainsi, du s'exprime au moyen de dy par le même formule que si y élait la variable indépendante On peut dire encore que le rapport des différentielles de w et de y, prises en les considérant comme deux fonctions de x, représente toujours la dérivée de w par rapport à y.