RER

5° Si dans les formules (1), (2), (3), (4), (5) on multiplie les deux membres par dx, on obtient les équations suivantes, qui ne diffèrent des premières qu’en ce que les dérivées des fonctions sont remplacées par leurs différentielles :

d'(u+v—w+...) = du + do — du +...

d, uv = a Fr

d.uvw -.. — uvw .- 4e Lee ):

d.u" = mu"z! du,

814. Différentiation des fonctions élémentaires. — I1 suit immédiatement des formules ci-dessus que l’on a

GUÉEL) PEUT:

En second lieu, soit y — x, a étant une constante quelconque. On aura Re A nm one ve ME ont s Ax Ax œ en posant ÀAx :x— a; « étant infiniment petit avec Ax, nous ferons (+o)ÿ—1=$f, d'où (1 a) = 1 +46, A

se —=

L (1+ à) Mais f tend vers zéro en même temps que x, et d’après l'équation (2) du N° 28 et le théorème du N° 47, la limite du premier membre n’est pas altérée si l’on remplace 1. (1 + f) par G, 1. (1 + x) par «. On a donc

CRE ll, œ d’où Ay lime are A%=0 Ax

et par suite Dre ax Net

I] importe d'observer que, d’après la remarque 2 du N°80, cette

équation subsiste, soit que x soit pris comme variable indépendante, soit que x désigne une fonction quelconque d’une autre variable. Cus particuliers : a = 2, d. x? — 2xdx; a — À},

dy/x—

2 V/x 82. Soit maintenant, I, désignant toujours le logarithme népérien,

Nous aurons, « désignant encore Ax : x, et x étant supposé différent de zéro,

Lorsque « tend vers zéro, 1. (1 + x): « a pour limite l’unité (28), on a done Ay I lim—==DI.x—- Im Læ mn donc

es

Si le logarthime se rapporte à un système à base A, on aura, comme on sait,

d d'logx ="

ST TX

3. Fonctions circulaires. — 1. Considérons d’abord la fonction

y = Sin %.

Nous avons Ay sin(x—+ Ax)—sinx 2 sin? Ax cos (x +: Ax) Avit Ax F7 Ax :

Mais Ax étant infiniment petit, le rapport sin + Ax : + Ax a pour limite l'unité (47), donc Ay

lim —=— D sin x — cos x, Ax

et par suite d sin x — cos x dx,

PO

: T s COS X — SIN | —- — ZX }»

en appliquant la remarque 2° du N° 80, on aura

deos a — cos (7x) d(T— x), 2 2

d cos x — — sin xdx.