IV. De même

dsecs—dà(—

__sin xdx — (9 x sec xx.

cos x cos x

Enfin, en observant que

T T cot x — tg me US y COSEC X — SEC or AS ,

et raisonnant comme pour cos x, on déduira de ce qui précède

dx d cot x — Aer d cosec x — — cot x cosec xdx.

sin? x

84. Fonction exponentielle. — Soit encore AQU TE== 10017 La dérivée de x par rapport à y est, d’après le N° 82, r : yl. A, done, d’après la règle des fonctions inverses, on a D.y = yl.A, d’où dA* —A°|l'A dx, et en particulier de: —e* dx, De’ —e:.

La fonction e* jouit donc de la propriété de se reproduire elle-même

par la dérivation.

et /0 0 —

85. Appliquons encore la règle des fonctions inverses aux fonctions are sin x, arctg x, etc... Mais comme il existe une infinité d’ares qui correspondent à un sinus, à une tangente,.… donnés, il faut, pour ramener les fonctions ci-dessus à être des fonctions simples de x, les déterminer d’une manière plus complète. Nous désignerons donc exclusivement ici par arc sin x, arc tg x... le plus petit arc, en valeur absolue, qui corresponde aux valeurs de la variable x pour lesquelles la fonction

: PET ; L T T existe. Ainsi arc sin x sera compris entre es et + —;, etc.

D'après cela, posons

y=—=arcsinx, d'où x—siny;,

le radical étant pris positivement puisque cos y est positif. On a donc

: dx d arc Sin x = ——— ° 1 — x?

On aura, de même,

y—=arctgx, x—tgy, ——

dy COS? y ” M LUN NS DÉLITS UE « FPE D 1+tgy 1+ x!

ou d darctge= re

y I L: 4 y — Arc SECX, X — SCC, dx — igysecy” DIE

ou, à cause de la relation tg y — p/sec? y —1, dx PORN SRREE 3 xya?—1 le radical étant pris positivement. Enfin, on trouvera de la même manière

dx dx d arc cos x — —-, arc cot x — —

= per À res 1 + x dx

Fa.

dy = d.arc sec x —

d arc cosec x — —

y pe

Il importe de bien connaitre toutes ces formules, auxquelles se ramène, comme on va le voir, la différentiation de toutes les fonctions explicites.

S6. Différentiation de fonctions explicites quelconques. — Etant donnée une fonction explicite quelconque y de x, pourvu qu’elle ne soit composée qu’au moyen des fonctions élémentaires introduites jusqu'ici, on pourra toujours la ramener, par lintroduction de variables auxiliaires, à des sommes, produits, quotients,.… de fonctions élémentaires et lui appliquer les règles de différentiation déjà connues; puis, par l’élimination des variables auxiliaires et de leurs différentielles, obtenir l’expression de la différentielle dy de la fonction proposée en fonction de x et de dx. Pour obtenir la dérivée Dy, il suffira de diviser par dx.

Soit, comme premier exemple,

y=—4tL ts.

On posera tg x — z, d’où y —1.z. Les formules trouvées plus haut (82 et S3) donneront

et en éliminant z et dz, dx dx

d — dit L = —= -——— — 2° J : tg x cos? x sin x cos x

Si l’on a y=l. (c++), on fera z—x+p/1 La, d'où y—1.z, et par suite dy =, dz = dx + d.y/1 + a?.

Soit encore 1 + x? — w, d’où

dyi+a=dy/u— CHEN du — 2xdx,

d’où encore

Ft7oe et en substituant dans l'expression de dy, D DE d 5 dy=d.1.(x +y1 Dee) ar V/T + x?

87. Avec un peu d'exercice, on se dispense de représenter effectivement par de nouvelles lettres les fonctions plus simples dans lesquelles on décompose la fonction donnée, et l’on fait mentalement cette série de substitutions. Ainsi, ayant à différentier

2% y —= arc ig

Eye ee

on considérera mentalement 2x : (1 — x?) comme une variable que l’on différentiera par la règle des quotients, et l’on trouvera ainsi, d’après

les N°5 86, S0, S1, + (2 ) |= (1 — x°) 2dx + 4x°dx I — %° (Tr — x?) + 4x

2(1 + x?) dx 24x

== ee — °.

On a donc

mp d.arctg

Si la fonction y est un produit de fonctions élevées à des puissances positives ou négatives, on simplifie le calcul en prenant d’abord le logarithme de y et déduisant de la différentielle du logarithme celle de la fonction, Soit

LP Sr AY RRUS 2e nt ET nn Ÿ (ec — 1)° (x — 3)"

et en égalant les différentielles des deux membres,

dy doc 5 dx 11 dx

d’où, réduisant au même dénominateur, multipliant par y que l’on remplace par sa valeur, et simplifiant, on trouve

7 PE PR ee @— 1) — 3)

(a? — 7x + r)dx.

RIT re Si l’on avait à différentier une expression de la forme y — u°, u ctv étant des fonctions données de x, on opérerait de même :

Pyvrl.u; do or. u . dv,

dy = d.u° — w (A du+ ludo) .

Ainsi l’on trouverait

Exercices.

2 Ma 2. y — (90? — Gabx + 5b*x?) (a H- bx)5 ; R denae fe 7 dx 3 (a +- bæ)5 I dæ 2. . y—=tgx+-tgx; Rd ==.

3 cosi æ 3. y = 6% cos bæ; BR. dy — 6% (a cos bx — b sin bx)dæ. 253 3 3 i ‘ Fu 4 4. Dr FAGOS AE LEURS æ }sin x; R. dy —4 cos xdx. 5. y = co (1 ©): R. dy = V2 cos (1.x) dæ.

œ? x'arcigæ 6. = > t ct — =. 1—+a*); R. dy — V— ( arc se) g x (x + Te Mas et —b 2abdx 7. =], ——— ; AT TER EEET . ae + D” RES ae? — breT* 8. Lt ÉCRAN RAS RU nr.

V’a + bœ + V'a — ba fr] Va? — b°x° a+ btg x 2abdx : =], ———— ; EE ENT RER RE Et a—0btgz 4 a? cos? æ — b? sin? x a. MS , Fe É ee) BA ee Ad fe a+b 2 a + b cos x Ar. re sin æ cos x : RATER - HO E PEUR &. Va cos? # + b sin? x (a cos? x +- b sin? æ)?

45 45 À ar, 8 2 QE CH E—, p qu Chen