PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA DÉRIVÉE

S8. Une fonction f(x) est dite croissante pour une valeur x de la variable, lorsque f(x + h) — f(x) est de mème signe que h, pris suflisamment petit; elle est dite décroissante, lorsque f(x + h) — f(x) et h sont de signes contraires.

Supposons que, pour la valeur considérée de x, f(x) admette une dérivée déterminée f? (x).

Si la dérivée f! (x) est positive, la fonction est croissante ; si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

On a

d’où l’on tire, w décroissant indéfiniment avec h, | fe +) — fl) hf @) + ol.

Pour toute valeur de h inférieure, en valeur absolue, à un nombre

très petit €, © sera numériquement moindre que f’(x), puisque cette dérivée n’est pas nulle ; le second nombre aura donc le signe de h f’ (x),

PA donc f(x + h) — [(x) sera de même signe que À si f’ (x) > o, de signe contraire si f! (x) < o.

89. La même condition étant remplie, si l’on désigne par x’ et x’! deux valeurs de la variable telles que l’on ait x! <'x < x”’, on aura toujours

! JA en « A (1) lim LES) —= fu).

En effet, on a

La") — fe) = fe") — (+ [0 — fr) LG) — 1 ur 9 + =)

g — x x — x’ EEE BE

et comme, par hypothèse. x” — x, x — x’ sont de même signe, on a par un théorème connu (4)

fe perte) 6 [OR OI).

Divisant par x’ — x’ que l’on fera tendre vers zéro, x” — x et x” — x auront aussi pour limite zéro, les rapports entre crochets tendront vers leur limite commune qui est f” (x), d’après l'hypothèse; on aura donc l'équation (x).

On remarquera 1° que ce théorème suppose essentiellement que [f(x + h) — f(x)] : h tende vers la même limite f” (x) quel que soit le signe de »; 2° qu'il subsisterait même si ce rapport croissait indéfiniment [f(æ) = © ], pourvu qu'il fût de même signe pour h È O.

90. Lorsqu'une fonction f(x) est simple et continue dans un intervalle (a, b) (65), on dit qu’elle admet une dérivée dans cet intervalle, si la dérivée f’ (x) existe pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b), les

valeurs de x + h restant d’ailleurs comprises dans le même intervalle. En sorte que, si a £ b, pour x — a, h sera supposé positif seulement ; pour x — b, h sera négatif.

TaéorÈème DO. Bonner. — La fonction f (x) étant continue dans l’intervalle (a, b), si elle a une dérivée dans l'intervalle (a + 0, b — 0), à existe dans cet intervalle au moins une valeur E de x pour laquelle on a

b—a Soit À la valeur du premier membre. La fonction

20600 Dee

est continue dans l'intervalle (a, b); elle a une dérivée f” (x) — A ; elle s’annule pour x — a et pour x — b, d’après la signification de A. Donc, ou elle est constamment nulle dans l'intervalle (a, b) : dans ce cas il en est de même de sa dérivée et f’ (x) — A ; ou bien elle admet des valeurs différentes de zéro. Si o (x) est positif dans une partie de l'intervalle, sa limite maximum L sera > o, et comme elle atteint cette limite au moins pour une valeur Ë de x, il existera entre a et b une valeur £ de x telle que l’on aura, k étant positif,

p(ÊZHEk) —H(E) <o, d’ou

pE—h) — p (6) — h

SEE ES cr,

Lorsque hk tend vers zéro, ces deux rapports doivent tendre vers une même limite o (£) par supposition : cette limite ne peut donc être que zéro. On a donc

DAÉ)E= OMOUR CEE

d’où l’on conclut, en remplaçant A par sa valeur,

LOI pe, «<E<v

Sio (x) admettait des valeurs négatives dans l'intervalle (a, b), on raisonnerait de même.

On doit observer que ce théorème ne suppose nullement que la dérivée f' (x) soit une fonction continue dans l'intervalle (a 0, b — o), et que la démonstration subsiste même si elle devient infinie dans cet intervalle, pourvu toujours qu’elle soit indépendante du signe de h.

91. Conséquences du théorème de M. O. Bonner. — I. Si la fonction f (x) reprend la même valeur pour x —aet pour x — b, f (a) — f (b), il existe une valeur Ë de x, comprise entre a et b, pour laquelle la dérivée f’ (x) s'évanouit, f” (£) — o (Théorème de Rolle). |

II. Le théorème général s'applique évidemment aussi bien à deux valeurs quelconques %o, xo +- h de la variable, 2% comprises dans

l'intervalle (a, b), qu'aux valeurs extrêmes a et b. Il suit de là que si l’on désigne par 9 une quantité inconnue positive et moindre que l’unité, la

ER QT

valeur £ comprise entre %o et %o + À pourra se représenter par %o +- 6h, et l'équation (2) nous donnera

(3) fo + h) — f(xo) = hf (to 0h), o LKO< 1,

équation importante.

IT. Toute fonction continue f (x) dont la dérivée f! (x) est constamment nulle dans l’intervalle (a + 0, b — o), se réduit à une constante dans l'intervalle (a, b).

Soient %o, To + L deux valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, b); d’après l’équation (3), x, + 0h étant > a et << b, on a, d’après l’hypothèse, f” (xo + 0h) — o. On a donc

f&o+h)—/f(m)=0o où f(x+kh)= f(x),

la fonction a la même valeur pour deux valeurs quelconques de x dans l'intervalle (a, b); c’est une constante.

IV. Si deux fonctions f (x), © (x) sont continues et ont leurs dérivées égales pour toute valeur de x dans un intervalle (a, b), elles ne peuvent différer que par une constante dans cet intervalle.

C’est une conséquence du principe IIT, car la fonction f (x) — © (x) est continue et a une dérivée nulle dans l'intervalle (a, b), elle se réduit à une constante C, et l’on a

D2. V. Si la dérivée f! (x) est finie et déterminée dans un intervulle (a, b), et si elle converge vers une limite déterminée À lorsque x tend vers une valeur x, comprise entre a et b, on a f’ (x:1) = A.

Car le théorème de M. Bonnet étant applicable, on a

HN cn Ie pe ESS 0

Faisons tendre h vers zéro; le premier membre tend vers f” (x:), le second, par supposition, a pour limite A, donc etc. La démonstration subsiste si À — 0 . Mais f” (x1) pourrait exister même si f” (x, +- 0h) ne tendait vers aucune limite. Ainsi, soient

I 1 I — x? sin — ? — IN — — COS — - 1) ="x sin —» f(x) = 2x sin = =: