RE QE

Pour x — o, la fonction s’annule ; sa dérivée ne tend vers aucune

limite quand x tend vers zéro, et l’on a, cependant, f' (0) = lim h sin? — 0.

VI. — Une fonction simple f(x) tendant vers une limite finie et déterminée lorsque x croit indéfiniment en valeur absolue, si f(x) tend vers une limite, cette limite ne peut étre que zéro.

Soient x et x (x > x) deux valeurs de la variable. On a, en désignant par Ë une quantité > æ et < x,

fæ) — fe) = (x — x) f' (6).

Supposons que lim f” (x) soit différent de zéro; à partir d’une valeur x = co

suffisamment grande X de x, on aurait donc constamment WA f’ (x) > B, B désignant un nombre déterminé > o. Donc si l’on prend x, > X, on aura, pour toute valeur de x, VA f’ (£) > B, d’où

M [/(&) — f{xo)] > (x — 20) B, et si l’on conçoit que x reste constant, que x croisse indéfiniment, (x — x) R croiîtra indéfiniment et il est impossible que f(x) tende vers une limite finie. On raisonnerait de même si x tendait vers — ©.

VII. Si la fonction f(x) reste de même signe et croît indéfiniment lorsque x tend vers une limite finie a, la dérivée f! (x) ne peut tendre vers une limite finie.

Soient x et x deux valeurs aussi rapprochées qu’on le veut de a, du côté de a où WA f(x) croît indéfiniment. On a

fx) — f(x) = (x — 0) f'(), £ étant compris entre x et x. Concevons que x restant fixe, x tende vers la limite a; f(x) — f(x) croîtra indéfiniment, et comme VA (x — %) reste moindre qu’un nombre déterminé, il faut que f” (£) croisse indéfiniment.

La fonction f’ (x) peut donc acquérir, dans un intervalle (xo, a) aussi petit qu’on le veut, des valeurs absolues supérieures à tout nombre donné, il est donc impossible qu’elle tende vers une limite finie lorsque x tend vers la limite a. |

938. VIII, — Nous pouvons actuellement compléter ce qui concerne la longueur d’un arc de courbe plane ou non plane (84). Soient

= ft), y=/f1(, z2=f(0

MASON RRE

les valeurs des cordonnées rectangulaires de la courbe en fonction d’une variable indépendante 1; t— x, t — f les valeurs de t qui répondent aux extrémités À et B de l’arc considéré. On suppose que les fonctions f, fi, f2 sont simples, continues et ont des dérivées déterminées dans l'intervalle (x, f).

Nous pouvons partager cet intervalle (69) en intervalles (41, 2) tels que, dans chacun d’eux, l’oscillation de chacune des fonctions f, fi, fa soit moindre qu’une fraction donnée €: 3. Comme la distance de deux points quelconques m et n pris sur l'arc correspondant à l'intervalle (t1, ta) est moindre que la somme de ses projections orthogonales b, k, L sur les troisaxes, moindre, par conséquent, que la somme des oscillations des fonctions f, f1, fa dans l’intervalle (f1, &2), elle sera plus petite que &, ce qui justifie l'hypothèse admise au N° 54.

D'autre part, la formule (3) nous donne

h=VA[f(e) —f(H)]= M (E—4)f CE), et de même REV — 4) fi Gi) LA (eh) f (3), T, Taet re étant compris entre # et &. Nous aurons donc, G désignant un nombre supérieur aux valeurs absolues des dérivées f” (t), f, (0), f: (D dans l’intervalle (a, B), RHkHT< 3 (te — th) G.

Par conséquent, si IT désigne le périmètre d’un polygone quelconque inscrit dans l’arc AB, on aura toujours I <Z(hHRH D < 3(B—4)6, le périmètre IT ne pourra donc croître au dessus d’une limite fixe, done (49) il tendra vers une limite finie et déterminée qui sera (56) la longueur de l’arc AB.

94. IX. — Application du théorème de M. Bonnet à la théorie des séries. — Soient f(x) une fonction constamment posilive et indéfiniment décroissante pour x > a; F(x) une fonction dont la dérivée est f(x). La série

@) fa) + fa +1) + fa + 2) + + an) + ee 25 fa + n) est divergénte ou Rrsente selon que F (x) croît ou ne croît pas indéfiniment avec x.

La fonction F (x), étant continue et à dérivée positive, est constamment croissante avec x à partir de x — a. Elle ne peut donc (49) que croître

PAS GUEE indéfiniment ou tendre vers une limite finie. On a, d’après l’équation (2) Fa+i)—F@)=F(c+6)= f(x+9, (o<8<:1) et, d'après l'hypothèse, f@) > {+ 0) > f(x + r).

fe) > F@+ 1) —F@) 7 f@ +3).

Faisant x = a, a +1, a +2, ...,a—+n— 1 etajoutant ces inégalités membre à membre, on aura, en désignant par s, la somme des n premiers termes de la série (4),

Sn D F(a+n)—F(a) > 8171 — f(a).

Si F (x) croit indéfiniment avec x, F (a+ n) tendra vers l’infini avec n, SA eroitra aussi à l'infini et la série (4) sera divergente. Si F (x) tend vers une limite finie, F (an) et à fortiori 11 — f (a) ne pourra jamais surpasser un nombre fixe, et comme la série (4) a ses termes positifs, elle sera convergente.

donc

Soit comme exemple f(x) = 1 : x*, « >> o. La fonction F (x) aura pour valeur, si « # 12 F(x) = — (a sen , etsia— 1, F(x) —1L. x. Six > 1, F (x) tend vers zéro lorsque x croit indéfiniment; si « < 1, F (x) tend au contraire vers l'infini. Il suit donc du théorème ci-dessus que la série

. (a + n)* est convergente pour & > 1, divergente pour « € 1. Pour a = 1,.on. retrouve la proposition du N°36.

Exercices.

#. Démontrer que l’on a, pour toute valeur positive de x,

L(1+x) Læœ, 1.(1+x) > x — "5 R. On observera le signe des dérivées des fonctions LUxLa)—+, L(1Lx) — a+ >

qui sont nulles pour x — o.

Ne 2. Démontrer que x?(e* -- e-*) est positif pour æ > o.

3. Démontrer que, pour x > oet 3 , On a toujours I 25 x € —tg x + -sin +.

: Le 22 Nu Ar R. La fonction æ — - tgx EN est nulle pour æ—o. Sa dérivée est négative

dans lintervalle considéré,

4. Si f(x) admet une dérivée déterminée dans l'intervalle (a, b) et si f’ (a), f’ (b) sont de signes contraires, il existe une valeur & entre «a et b pour laquelle /”’ (æ) s’annule.

R. On montre que f (x), étant continue, atteint pour une valeur & de x, plus grande que a et plus petite que b, soit une limite maximum L, soit une limite minimum L, et l’on a (90) f’ () — 0.

On déduit de là que si l’on a, en général, f” (a) = A, f’ (b) = B, et si K désigne une quantité comprise entre A et B, on aura, pour une valeur ë de x entre a et b,

l'E=RK.

5. Si f(x) a une dérivée f’ (x) dans l'intervalle (a, b) et si, s désignant une quantité donnée arbitrairement petite, on peut assigner un nombre & tel que lon ait, pour toute valeur de x appartenant à l’intervalle (a, b),

af pole à nca

la dérivée f’ (x) sera une fonction continue de æ dans l’intervalle (a, b).

6. Si f’ (x) a une limite déterminée lorsque x tend vers une limite æ,, et si À, A, désignent des infiniment petits de même signe, k, > hk, on aura

res Ps + ha) — f(21 + À) — f'(æ).

ha— h

R. Conséquence de l’équation (3) et de la propriété V. Cette remarque complète le théorème du N° ss.