CO

204. Forme ur IE, Si f(x) et F (x) croissent indéfiniment en valeur

absolue lorsque x tend vers une limite a, et si f! (x) : F' (x) converge alors vers une limile déterminée À, F’ (x) restant de même signe, le rapport f(x) : F (x) convergera la même limite A.

Si x tend vers a en croissant, on démontrera, comme pour le théorème I, que dans l'intervalle (a — 9, a — o) on a, en prenant F' (x) > o comme on peut le faire,

f(x) —(A+e)F' (x) Ko, f(x) —(A—:)F(x)> 0, d’où il suit que, k désignant une constante positive arbitraire, les fonctions

De ON

qui ont respectivement pour dérivées les précédentes, seront l’une toujours décroissante, l’autre toujours croissante dans cet intervalle. D'ailleurs on peut prendre la constante k assez grande pour que, pour x = à — 0, la première fonction ait une valeur négative, la seconde une valeur positive; on aura donc dans l'intervalle (a — d, a — o),

f(x) — (A +e)F(x)—k Lo, f(x) —(A—:)F(x)+k> o, d’où, F (x) étant positif,

f(@) À: HORS Fe) STE) FG) F@

Lorsque x tend vers a, k : F (x) a pour limite zéro, et comme £ est une quantité arbitrairement petite, f (x) : F (x) finira par différer de A aussi peu qu’on le voudra ou aura pour limite A. |

On démontrerait comme plus haut que le théorème subsiste si x tend vers a en décroissant, ou si À — + w , ou enfin si a — .

Nous sommes donc ramenés pour rechercher des vraies valeurs des

. 0 co « fonctions qui se présentent sous la forme —; à la même règle que pour ee]

O : . x celles de la forme -; mais elle paraît ici sans usage, car d’après la o)

remarque VII du N° 92, la dérivée tend généralement vers l'infini en même temps que la fonction pour une valeur finie de la variable. Le

; 00 rapport f” (x) : F’ (x) se présentera donc aussi sous la forme aol de

même f”’(x): F’’(x), etc... Mais on pourra souvent effectuer, sur le

rapport des dérivées du premier ou du second ordre, des simplifications

qui permettront de trouver sa limite et par suite celle de f(x) : F (x). Par exemple, pour x — 0, Il. x et cot x sont infinis. On a donc

l. © si sin? % PSI TT lim ———]im Je — — ]im — : Sin T— ©.

x=0 COt Æ sin x XL

4105. Si f(a) —0, F(a)— + ©, le produit f(x)-F(x) se présente sous la forme 0: , pour x — a. Pour trouver sa vraie valeur, on écrit

CCE EL

è O ces deux dernières expressions affectent, l’une la forme - ; l’autre la O

CO , Q e ? A forme — ; ct l’on détermine leur limite par l’une des règles données

ci-dessus.

Exemple: f(x) —sinx, F(x)—1. sin°x, pour « — mx, m étant entier. On trouvera successivement

ee sn . Lsin®æ . [2sinxcosx cos x lim (sin x 1. sin? x) — lim = — — ; — — GMT (sin x)! sin? x sin? x — — Jim (2 sin x«)— — 2 sin mr — 0.

106. Si f(a)— ©, F(a)—, la fonction f(x) — F(x) a la forme %®—o pour x —a. On met les fonctions f(x), F(x) sous la forme 1:@(x), on réduit au même dénominateur, et l’on est ramené à la

O QE! 4 s forme —et à la première règle. Soient e)

40; fa) ==, F (x) = cotx,

on a SL: . SINT—xXCo8sx . x Sin x lim {—— cot à ) = lin —— — 1m —o rar x sin x sin x + x cos x

407. Considérons enfin la fonction F(x}”. Si l’on a f(a) — 0, F(a)—0o; ou f(a)—0, F(a) =; ou f(a) = +, F(a)— 71, la fonction prend, pour x — a, l’une des formes o°, w °, 1°. On posera

pr) =1F(ÿ® = f(x) 1 F (x), et (a) aura, dans les trois cas, la forme o:x . La règle du N° 4105 fournira sa vraie valeur, et par suite la limite de F (x).

Exercices.

[e) FoRrMESs - O

l x — 4ax? + sax — 20 I LE 1 IT does OR EL € æ—œ2a 25 — 3u?x — 25 9

. bn Le 6 0) eme m (mr n)e L=I (1 — x)? 2

A ait a+ a Va — 11 PRO Per æ=0 Vatz—V'a—x