Lorsq'une série (1) Uo Ua He Lu He

dont le terme général w, est fonction de x, est convergente pour toute valeur de x appartenant à une intervalle (a, b), la somme s de la série est elle-même, en général, une fonction de x. Pour chacune de ces valeurs de x, il existe un nombre N tel que la différence s — s, — R, (26) soit, pour tout nombre # => N, plus petite en valeur absolue qu’une quantité donnée arbitrairement €. Mais ce nombre N dépend à la fois de € et de x et peut même croître indéfiniment, pour une valeur donnée de €, lorsque x s'approche d’une limite déterminée.

Nous dirons que la série (1) est équiconvergente dans l'intervalle (a, b) lorsque, si petit que soit donné €, on peut assigner un nombre N tel que l’on ait WR, << pour toute valeur de x dans l'intervalle (a, b) si nest égal ou supérieur à N.