AUDI

409. Taéorème 1. — Une série est équiconvergente dans un intervalle (a, b) lorsque, dans lout cet intervalle, ses termes sont, en valeur absolue, égaux ou inférieurs au termes de même rang d’une série convergente à termes constants et positifs

Go + &i + ee an +

En effet, soit R; le reste de cette dernière série. Pour toute valeur de x > a et <b on a, par hypothèse,

MA (Snip — 5n) € (An + Ang + + Gnsps) Rs, et, puisque p est arbitrairement grand, Si donc, € étant donné, on détermine N de façon que R+ soit <e, a fortiori on aura, pour toute valeur de x dans l'intervalle (4, b),

R, moindre que € en valeur absolue, pour n > N. Exemples. — La série

Ps es A re

est équiconvergente dans un intervalle fini quelconque (a, b); car, soit

r un nombre fixe aussi grand qu’on le veut; la série

D dre

est convergente, le rapport w,,1: u, (88) ayant pour limite zéro.

De même, la série Z(a, sin b,x), dans laquelle b,, ba, .… b,, .… sont des constantes et Za, une série convergente à termes positifs, est équiconvergente dans toute intervalle assigné à x.

Considérons maintenant la série (x > o)

x œ x x Sr PT CC ER ET An = T) Ce wT) ENS Le décomposition x mise | I (1 nx) (x Unix) 14 : + (n +i)x donne ici

En —= Ii —

Si x est > o, $, a pour limite l’unité quand n tend vers l'infini, la somme de la série est donc l'unité. Mais, pour x — o, quel que soit n, On a $, — 0, donc s — 0. La somme de la série est donc fonction discontinue de « pour x — o.

Cela posé, pour x > o,ona

D 1 Lnx |

si x varie dans un intervalle (a, b) ne comprenant pas zéro, on aura toujours L

I 1 AR a PAT

et si l’on détermine N de manière que cette dernière fraction soit moindre qu’une quantité donnée € pour # = N, on aura R, < € pour toute valeur de n > N, x étant compris dans l'intervalle (a, b). La série est donc équiconvergente dans cet intervalle. Mais si l’on suppose a —0, quelque grand que soit #, on pourra attribuer à x des valeurs telles que nx soit très petit, et par suite R, > €. La série n’est donc pas équiconvergente dans un intervalle (0, b).

410. TuéorèME. Il. — Une série dont le tèrme général u, est fonction continue de x dans un intervalle (a, b) et qui est équiconvergente dans cet intervalle, a pour somme une fonction continue de x.

De l'équation s — 5, +R, on déduit, pour un accroissement À de x,

As = As, + AR,.

Soit une fraction arbitrairemet petite donnée. Si l’on prend n suflisamment grand pour que WAR, soit < € pour toute valeur de x dans l'intervalle (a, b), on aura, quelque petit que soit h, VA AR, < 2e. D'autre part, n étant invariable, 5, — 0 4-4 + +: + w,, est une fonction continue de x dans l'intervalle (a, b), on peut donc prendre À assez petit pour que $&, varie d’une quantité moindre que €, on aura M A5, < €. On a donc

M Às < 3e,

et puisque € peut être pris aussi petit qu’on le veut, s est fonction continue de x.

411. On appelle série potentielle toute série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes d’une variable x ou de la forme

(2) Go Æ dix Æ ao? + ce Lan" Le,

les coefficientes &o, &i, .. an, ... étant des constantes positives ou négatives. Ces séries jouissent de propriétés spéciales dont voici les plus importantes.

THÉORÈME, III. — Si pour une valeur positive r, de x, le terme général an x" ne peut jamais surpasser en valeur absolue un nombre fixe, la série (2) sera absolument convergente pour toute valeur de x numériquement moindre que ra.

Posons &, — WA 4, r — VA x. La série à termes positifs

est convergente, comme on sait, pour r < r. Donc, d’après le théorème du N° 81, puisque «, r” ne peut pas surpasser un nombre fixe, la série obtenue en multipliant les termes de la précédente respectivement PAT os ŒaTiy Mol rs ses CnT# SAVOIT

Co À ar + or? + + nr sera encore convergente, ce qui (4) entraine la convergence absolue de la série (2).

Ainsi la série

rat Ent. RME PA EE Et PERS

Ph 4... 2n

est absolument ns À si A x < 1, car, pour x — 1, on a, quel que soit n, 1.3...(20 — 1) 2,4... 21 222. Il suit de là que, pour déterminer l'intervalle de convergence de la série potentielle (2), on supposera que x croisse à partir de zéro, on cherchera la plus grande valeur r, de x pour laquelle l'expression &,r% ne croit pas indéfiniment avec », ou du moins la limite supérieur r, des valeurs de x qui remplissent cette condition. La série (2) sera absolument convergente si — r1 < x <r1; elle sera divergente si x < — r; ou si x > r1, Car le terme général croîtra indéfiniment en valeur absolue. Pour x — Æ r,, elle scra tantôt convergente, tantôt divergente.

Ainsi, la série X — est absolument convergente pour toute j 1.2..:.N

valeur de x; la série

IX —Hi.2at+r.2.3 25e

est divergente pour toute valeur de x, sauf x = o. La série

x? XS TH Gt L +.

NUE 3 n

est absolument convergente si l’on a — 1 x < 1 ; elle est divergente siWæx>1, car l'unité est la plus grande valeur de x pour laquelle x": n ne croit pas indéfiniment avec n (24). Pour x — 1, la série est convergente (44), pour x — — 1, elle est divergente (86). L’intervalle de convergence de cette série est donc (— 1 + 0, + 1).

123. TuéorèMEIV. — La série (2) est équiconvergente dans l'intervalle (— p, + p), p désignant un nombre déterminé quelconque inférieur à rs, et elle a pour somme dans cet intervalle une fonction continue s de x.

En effet, d’après le théorème précédent, la série

Go —- tp + &2p° + SES À n°" —+ ..

est convergente; donc, d’après le théorème I, la série (2) est équiconvergente dans l'intervalle (— p, + p). Il suit alors du théorème II que la somme s de cette série est fonction continue de x dans l’intervalle (— p, + p), puisque x, est une fonction continue.

Mais cette démonstration ne prouve pas que la somme s est une fonction continue de x dans l'intervalle (— r1, + r;), et il faut ici recourir au

424. TuéoRÈME V (Are). — Si la série (2) est convergente pour une valeur x, de x, elle est convergente pour toute valeur de x numériquement moindre que %1, et a pour somme une fonction continue de x dans l’intervalle (0, x).

Soit r1 — VW %,; d’après l'hypothèse, il est impossible que æ,r” croisse indéfiniment avec n ; la série est donc convergente, d’apès le théorème III, pour toute valeur de r < r1, ce qui démontre la première partie de la proposition.

Ensuite, nous avons

Snip —— Sn — An" = Gns4X"T! —— … + PR,

LH n x x = | — anX + = DÉETRE lt e. —|- LE, AE Goes MH T n , 1 Xi x:

La série étant convergente pour x —%1, on peut supposer # assez grand pour que lon ait toujours, quel que soit p,

VA (ana + Quant EE Gap nette 1) C6,

« étant pris aussi petit qu'on le veut. Si x est compris entre o et x, les facteurs

sont positifs et décroissants ; le lemme du N° 42 donne donc

TX ñn AU (Sn+p rer 8n) A Lee €, X1

et comme p peut croître indéfiniment % ñn WA (s—5,) — WAR, <(£) €.

La série est donc équiconvergente dans l'intervalle (0, x,) et a pour somme une fonction continue f(x) de x dans cet intervalle. Donc, lorsque x tendra vers la limite x1, f(x) aura pour limite f (x).

Ainsi la série

étant convergente pour x — — 1, est convergente dans l'intervalle (0, + 1), et si f(x) désigne la somme de cette série, on aura At Fo lim L=z I — — mt — ..e net) SELS - FE