Soit y une fonction, ordinairement inconnue, de x, et

dy d'y (1) V=— 1C V7 dx ? dr )

une expression renfermant les variables et les dérivées de y jusqu’à un certain ordre. Le premier problème que nous allons-résoudre est celui-ci : Etant donnée une équation x = 9 (t) entre x et une nouvelle variable, introduire t au lieu de x dans V, et par suite les dérivées de y par rapport à © au lieu des dérivées par rapport à x. C'est le changement de la variable indépendante.

Nous exprimerons d’abord comme il suit les dérivées D.y, Dy, … au moyen des dérivées de x et de y par rapport à t, que nous désignerons respectivement par x’, x’, x", y',y"', y!!, .… Considérant y comme fonction de x et x comme fonction de t, la règle des fonctions de fonctions nous donne successivement

y' as. D,y: xt, ya le Dy : x'2 + D,y d mes Y = Déy:ex'5 EL 3Diy.x' x" + D,y-x'/, et ainsi de suite. De là on tire successivement

, x 1, lot!

Diy == Dy— te, X X ( ) ; 6 LEA — y COTE — 3 (x HT 4 pe y fx!t) LE D

et ainsi de suite. La loi générale est assez compliquée. On peut aussi écrire ces formules, en désignant par dx, dx, ... dy, dy, .… les différentielles successives de x et de y par rapport à t, dx dy — dy d?x > ax:

(dx d5y — dy d5x) dx — 3 (dx d’y — dy d?x) Pre dacÿ

Déy =

ete. Il suffit de multiplier haut et bas la première par d{, la deuxième par d{5, la troisième par di’, etc.

174. Cela posé, pour résoudre le problème, on commencera par exprimer les dérivées de y qui figurent dans l'expression de V, au moyen des formules (2), en fonction des dérivées de x et de y par rapport à #; l'équation entre x et { permettra de calculer x’, x”, … en fonction de #, et il ne restera plus qu’à éliminer x de l'expression (1) au moyen de cette même équation pour que le problème soit résolu.

Exemple. Étant donnée entre x et y l'équation différentielle

la transformer en une équation du même ordre entre y et t au moyen de la substitution x — cos 1.

On a x'——sint, x”—— cost,

et par les formules (2),

dy 1 dy dy 1 dy cost dy

Ces ne)

dx sint dd’ dx? sin’tdt® sintdt

Substituant et réduisant, éliminant x, on a, pour l’équation entre y et t,

175. Le deuxième problème est celui-ci : Étant données deux équations entre x, y et deux nouvelles variables w et t,

F(x,y,u;t)—=0, Fi(x,y,u,t) —=0, exprimer V au moyen de w, t et des dérivées de w par rapport à #. C’est le changement de toutes les variables,

Différentions les équations F — 0, F; — 0, en considérant { comme variable indépendante, d’après la méthode du N° 467. Nous en déduirons x’,x’”, ….y’,y",..… en fonction des variables x, y, u, t et des dérivées successives de «w par rapport à {; en les substituant dans les équations (2), nous aurons les dérivées D,y, Diy, .… exprimées au moyen des dérivées de même ordre, au plus, de w par rapport à {. Nous porterons ces valeurs dans l’expression de V, nous éliminerons x et y au

moyen des mêmes équations F — 0, F, — 0, et nous aurons une expres-

sion de la forme

qui donnera la transformation demandée.

Ce cas se présente lorsque, une grandeur géométrique étant exprimée

en coordonnées rectangulaires x, y, on veut trouver sa valeur en coordonnées polaires r, 0, par les relations.

mr cos 0, ÿy—rsin0: 5 On a dx dr dy Dj — 005 0 — r sin 6, D = sin 0 Dr cos 0.

2 2 TE — cos ee 2 sin9T— r 0060, d2

RE Te PRE AA Sp ds = Sin ST TRLE 2 cos — risin 6, etc.

Les relations de donnent ensuite

sin 0 — + r cos 0 1 Mie LUE nr CC ae LT RENE EE (cos 5% —r sin )h db | dé Substituant les valeurs de x, y, D,y, Dy, .… dans une expression de la forme de V, on aura résolu la question.

Exercices.

: d V= (aa) to — = (et — et)

R Les 7 di

d 2. + + 3H TEE (aa) + iy=o, «tr

L5y À. D b nE mt y = 0.

æ. Transformer, en prenant y pour variable indépendante,