Q 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

476. Les fonctions de deux ou de plusieurs variables donnent lieu à des problèmes analogues aux précédents. Soit z une fonction inconnue de deux variables indépendantes x et y, et

Oz Oz 0?z (1) (opera)

une expression renfermant les variables et les dérivées partielles de z jusqu’à un certain ordre.

Le premier problème (changement des variables indépendantes) .consiste à exprimer V en fonction de deux nouvelles variables w et t liées à x et à y par deux équations données, et des dérivées partielles successives de z par rapport à w et à {.

La première chose à faire est d'exprimer, en fonction de ces dernières dérivées, les dérivées partielles D,2, D,z, D?z, ... La méthode la plus commode en pratique est celle-ci : z étant fonetion de x, y, qui sont

eux-mêmes des fonctions de #, ft, on a, par la règle des fonctions composées, (2) Te AT Oz 0z0x | 0z0y, du Ox0u dy0u Ôt Oxôt 0y ot Les dérivées partielles de x, y par rapport à w et à { sont données, en fonction de w, {, par les deux équations entre x, y, u, t. On a donc là

deux équations du premier degré qui donneront, F en fonction Oz 0z Cia Ou Oo!

On aura ensuite, en opérant “ le même principe. EP Er dz 0x y 0y Oz dx , 0z0°y Qu? 0x? CE) art Es + 6 | dE dy du?” OR Ur OT OT Ox dy | dy 0x Oz y Oy , Ox dx , Oz 0 G) Fe Qudt Ox? Ou ot + Ou dt Hoi ot ) Grau dd Ôz RATER D 0y duûl ,

CR OI dz Ox0y , 0*z /dy OZ DOTE OT UN | 2 ox 6 | ne Ox0y dt Nr (3 2) dise ne Ces trois équations feront connaître les dérivées D5z, Déz, D.D,z en fonction de Déz, D?z, D,Dzz, et des dérivées premières ; et ainsi de suite. Substituant ces valeurs dans l’expression (1) et éliminant les variables

x et y, on aura la transformation demandée.