Prenons comme exemple l'expression

= + rl avec les relations x = w cos d, y — u sin Ÿ.

Les UE (2) AN (t—=1}) z 6) ET os y + Sin D pau sin + Du 6084, d’où l’on déduirait sans peine D,z, D,z.

On aura ensuite, en dérivant de nouveau partiellement,

d2 d? 2% (A un = a cos? | Er sin d cos d + En sin? Y, Oz 0?z

—— ü? sin? d — o u? sin ÿ cos ÿ + En cos?

q) 0 ne MCE

0x dy

u sin Ÿ,

d’où l’on tire, en divisant la seconde équation par uw?, ajoutant, et ayant égard à la valeur ci-dessus de D,z, OR AT OZ MO QUE:

Gé Tr u2 OÙ + u Où”

donc, enfin, ï PS LU I MALE

0z® | dy? Ou? ! u?04? ! uw La forme des équations a permis ici de simplifier quelque peu la méthode générale.

178. On suivrait une marche analogue si l’on avait à transformer une

expression dépendant d’un plus grand nombre de variables, et nous en donnerons un exemple remarquable. Supposons qu’il s’agisse d'exprimer

la fonction = Eee | 0x? Toy? 02?

U étant une fonction de x, y, z, au moyen des coordonneés polaires r, 0, Ÿ, avec les relations x —=rsinGcos®, y—rsinôäsinY, z—rcos6.

Au lieu de suivre la méthode sans modification, nous opérerons deux

transformations successives; posant rsin0—u, d'où x=—u cos Ÿ, y — u sin Ÿ, et éliminant d’abord x et y seulement, nous aurons, le calcul étant le même que ci-dessus, (a) TEA CAURPART Pare a Rd Redon VE MUST SUR US DU OO LEE UE LT OÙ? udu Ensuite, éliminant # et z au moyen des relations Zi T7 COS 0, U —MSmMiU, on aura évidemment, par un calcul identique, (6) AE PES I LT ATAU Oz? Or re On E Ajoutant membre à membre les deux égalités (x) et (5), on trouve

OU OU Ur, d'U ,-roU 1 OU 1 OU , 1 OU de dy AC dr’ +3 Or rs OÙ À us Of ue

du?

IL faut encore exprimer ce dernier terme en r et 0; comme x et 8 peuvent être considérés comme fonctions de w et z, vu que l’on a

ur, tg0—u:z,

d’où Ôr u ep 00 cost0 cos 0 du Tr 0 z Puel on aura aussi OU aoU , OU cos 8 = — ro mm

2 OU , 1 ŒU cos Ü AU OL | + SH % Or F6 Tr in 0 00 À réeint 0 ge Si l’on observe enfin que l’on a OU de 20U 1 0°.Ur dr? l'ror r dr?”

OU cos O OU 1040 n g2U + LE 8 = ge 20 (ein 05 '

on trouvera pour la transformation demandée

1 0°.Ur I te oi k ET ETC ICE 5) tro ? sin? 0 OÙ?

479. Le second problème, celui du changement de toutes les variables dans l'expression (1), consiste à introduire, au lieu des variables x, y, z trois nouvelles variables v, w, t, liées aux précédentes par trois relations données, de sorte que, w et { étant regardés comme les nouvelles variables indépendantes, il faut introduire dans (r), au lieu des dérivées de z par rapport à x et à y, les dérivées partielles de v par rapport à w ct à t.

Soient les relations données

(4) x = f(", u, t), y = fiv, u, t}, Zi [2 (v, u, Lt);

ÿ étant fonction de w, t, les relations (2) prendront la forme suivante : D'ameois où Ov 0z E aer Ov pure 0x ff SEC dv du | Ovou 0x RE r du 0y du AUpy Ou}.