RP
L'équation de la eourbe se présente souvent sous la forme
F(x, y) = 0, d’où l’on déduit par différentiation OF dy (e) Ke HS Oydx ?
et en substituant la valeur de dy : dx tirée de cette formule dans
l'équation (1), on a l'équation de la tangente sous cette forme commode F (2) Ce Petra Le) NE
481. La normale est la perpendiculaire à la tangente, élevée par le point de contact. Lorsque les axes sont supposés rectangulaires, son coefficient angulaire est — r : 7, et en joignant à cette condition celle de passer par le point (x, y), on a pour l’équation de la normale
dax n—y—=——(ê—x (3) Pet 0:
ë, n étant ici les coordonnées courantes de la normale, On lui donne aussi la forme suivante pour le cas où l’équation de la courbe est F (x, y) — 0 :
(4) ED =D To
482. La sous-tangente S; est la distance PT (is: LA du PRRATE de l’ordonnée au point T où la tangente coupe l’axe des x, prise avec le signe + lorsqu’elle tombe à droite, avce le signe — lorsqu’elle tombe à gauche du point P.
La sous-normale S, cst, de même, la distance PN du pied de l’ordonnée au point N où la normale coupe l’axe des x.
On voit par là que S;, $, sont les valeurs de £-— x tirées respectivement des équations de la tangente et de la normale où l’on fait n — 0, On a donc
Fig. 10.
dx dy
(5) Er tn
Enfin, les longueurs T et N de la tangente et de la normale se comptent
du point de contact M aux points où ces droites coupent l’axe des x. On a donc, par les triangles rectangles MPT, MPN,
(GA ty /1+ DE TTVAES its
On donnera au radical le signe convenable pour obtenir un résultat positif.
183. On a souvent à calculer la perpendiculaire OM, — P abaissée de l'origine des coordonnées sur la tangente. Soient (x1, y:) les coordonnées du point M;; ce point étant à la fois sur la droite OM, parallèle à la normale, et sur la tangente en M, satisfait aux équations
d DT, ya)
dx
d’où l’on tire par l'élimination de dy : dx
(B) LS Yi — XX1 — YY1 = 0.
On peut aussi écrire (7) a de Lydy—=0o, aidy— ydx — x dy — ydx.
Elevant au carré et ajoutant, on a
Gi + y) (dx? + dy?) = (x dy — ydx}?,
d’où l’on tire PSM ESS xdy — ydx (8) Papa Lai = + / dx? —+ dy?
en déterminant le signe de façon à avoir un résultat positif. Si l'équation de la courbe est sous la forme F (x, y) — o, il suffit de remplacer dy par sa valeur tirée de l'équation (x); on trouve
n vw v rie
f Si Pon remplace dy par sa valeur dans les équations (7), qu’on supprime 22 : le facteur dx, et qu’on élimine x et y entre les équations (7) et l’équation 4 de la courbe, on aura entre x, y, l’équation du lieu géométrique du
point M;. C’est la podaire de la courbe donnée par rapport au point O. 484. Application à quelques exemples.
; x? ÿ° 4. Ellipse : RE Une 1, a —b?— 0.
u Ex , n a? b?n Tangente : — pu — 1; Normale: né —— —0c:
(LRU Æ y S — = — — Ju —— — LS Ô x » Sn 2%) 7: at Se bi ?
2 2 2, Hyperbole : cs JET a + b? — c?;
ONCE changer b? en — 6? dans les résultats obtenus pour l’ellipse. 3. Parabole : Y}=—2pTe Tangente : ny —p(£+-x); Normale : (Ë — x) y + (n — y) p — 0.
2 RTE de Le LE Si = = S, = p, constante; T=—p/2x(p+2x), N—p/p(p + 2x). SU I 4. Logarithmique : y — ae”*, Ss = — nv Const.
b. Cycloïde. — C’est la courbe OMD engendrée par un point d’une circonférence qui roule sur une droite OX sans glisser, c’est-à-dire de manière que la distance entre deux points de contact successifs O et À soit égale à l’are MA compris entre les points correspondants sur la circonférence.
L'origine étant au point O, Fig. 11.
OX étant l’axe des x, l’axe OY perpendiculaire, appelons a le rayon AC du cercle, « l'angle ACM entre le point de contact À du cercle mobile et le point décrivant M; abaissons MP, MQ perpendiculaires sur OX et sur le rayon OA. On aura immédiatement
x — OP = O4 — AP — ao — a sin ©, y = MP — AQ — AC — CQ = a — a cos w.
Les équations de la cycloïde sont donc (y) x —= @(® — sin @), y—a(r — cos w).
L'élimination de w donne
+ 2 ay —y,
a X —= 4 arc cos
mais il vaut mieux conserver les équations sous la forme (y), x et y étant exprimés en fonction d'une même variable w.
Ces équations montrent que la courbe se compose d’une suite indéfinie d’arcades égales OMDX, contiguës, ayant une base 27xa égale à la circonférence du cercle générateur et une ordonnée maximum égale à 2a, de
part et d'autre de laquelle l’arcade est symétrique. Il suffit donc de faire varier & de o à 2T.
Cherchons le point où la normale en M coupe l'axe des x ; l'équation de la normale donne pour ce point
à. # EX +y A et l'équation de la courbe dx — a (1 — cos w) do — y do, dy = a sin « de, donc 6 = a (o— sin w)+ a sin © — aw — OA;
la normale MA passe par le point de contact du cercle générateur et de la droite OX, et la tangente MD passe par le point D diamétralement opposé à À.
185. Coordonnées polaires. — Soient M un point quelconque d’une | courbe, O le pôle, OX l'axe polaire, OM — r le rayon vecteur, XOM — 0 l'argument du point M;
r —/f(0) où F(r,0)=0o l'équation de Ja courbe dans ce système de coordonnées polaires. Pour trouver la tangente à la courbe en M, nous déterminerons l'angle & que fait la direction MF de la tangente, menée dans le sens où croit l'angle 0, avec la direction OM du rayon
Fig. 12. vecteur. Menons une sécante MM’, le rayon OM’, MK perpendiculaire sur OM’; appelons r Ar, 0 AO les coordonnées du point M’. Le triangle rectangle MKM’ donne
MK — MK tg MM'K.
En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à A6, on a MK = r sin A0 —7+r A0, M'K = OM — OK = OM’ — OM — Ar, l'angle MW’K a pour limite s; donc enfin, en vertu du principe sur la limite d’un rapport d’infiniment petits (47) on a r AO
lim tg MM K= lim ,
ou .® ft) (10) BE R ro
La sous-tangente ct la sous-normale polaire se comptent sur la perpendiculaire au rayon vecteur menée par le pôle, du point O aux points T et N ou elle est coupée respectivement par la tangente et la normale. Les longueurs MT, MN sont celles de la tangente et de la normale. On a, par les triangles MOT, MON,
dr
do T — = + — A = Jp — = — y (11) O S,=rigu—=1 DE ON =—S,;— rcotp D
do? dr?
nn, —— 2 à —— — eo (E2 MM n/1+r de MN = N — 745 +
Pour la généralité des formules (11), on devra regarder S;, S, comme positifs ou négatifs selon que r sera une fonction croissante ou décroissante de 0 (69).
La distance OM; — P du pôle à la tangente a pour expression
r? d0 Soient r1, 0, les coordonnées du point M;; l’équation de la podaire de
la courbe par rapport au pôle O s’obtiendra en éliminant r, 8 et u entre l'équation de la courbe r — f (6), et les équations
(13) P—rsinp—
(14) ri = r sin p, O— = —p,
Exercices.
4. Dans la courbe qui a pour équation 2 2 2 les distances x, 8 de l’origine aux points où la tangente coupe les axes ont pour expres-
sions 2 14
B—= ay"; ®& la normale passe par le point (x, 8). La portion de la tangente entre les axes est égale à a. On a, de plus,
Mains,
2 1 3 Yi: = % QUE
P—(azy)5, a —=x°y5, l’équation de la podaire est Gi + vif = (ax1y1),
2. Un cercle de rayon a roule sur une droite OX ; un point M situé sur le rayon à une distance b € a du centre décrit la cycloïide allongée
æ = a —bsinew, y—=a—b cos w.
La normale à la courbe passe encore par le point de contact du cercle générateur et de
la droite OX.
3. Trois droites fixes sont données par leurs équations æ cos x +- y sin « — à —0,
æ cos B—+ y sinB—d9 —0, æcosy+ysiny—0’—0o; les distances p, q, r d’un point quelconque (+, y) du plan à ces droites respectives sont représentées par les premiers membres de ces équations. On représente une courbe par une équation entre les rapports p : r,gq: r pour l’un quelconque de ses points, ou par une équation homogène f(pq;r) 0;
(coordonnées trilinéaires). Trouver l’équation de la tangente.
R. Si l’on remplaçait p, q, r par leurs valeurs en «x, y, f(p, q, r) deviendrait une fonction de x, y.On a
of of of of of.
RT = TL cos à + Sens 8 + Sen bn GE aUe
et en substituant dans l'équation Of Of (GE UE) y de la tangente, on aura pour celle-ci, en désignant par P, Q,R les coordonnées trili-
néaires d’un point de la tangente, et ayant égard au théorème du N° 144,
