Ô PQ HR

4. Mener la normale à la podaire d’un courbe donnée. R. On tire de l’équation (8; par différentiation

(224 — æ) ds + (27: — y) dys = 21 dx +- y: dy = 0; L'équation de la normale à la podaire est

y — 2Y1 ZX — 2%1

Gr Elle passe par le point (x : 2, y : 2), milieu du rayon mené de l’origine O au point M. 5. Podaire de la courbe

mn m x 4 OHOE par rapport à l’origine.

R. L’équation de la podaire est

(aus) + (by) = (2? + pi},

Dans l’hyperbole équilatère, m — 2, b — ai, on trouve (x? + y} + a (y — 5) —0;

c’est la lemniscate de Bernoulli.

6. Une courbe (C) est définie par une relation f(u, v, w,...) = 0 entre les distances normales u, v, w,... de chacun de ses points M à des courbes données U, V, W,... Si l'on porte sur les directions w. v, w,.. des longueurs respectivement égales à

Of O RO.

Ou” dv dw à partir du point M et dans le sens marqué par le signe de ces dérivées, la résultante de ces droites sera normale à la courbe (C).

R. Soient +, +’, #’",... les angles que fait l’élément : de la tangente à la courbe (C) avec les directions w, v, w,.. prolongées au-delà du point M. On a

du—ccosp, du—=e cos»...

et en substituant ces valeurs dans l'équation df —0,ona

of Op homo f % LE FR g 2 FAR g+ee—=0, équation qui renferme le théorème énoncé. Il s'applique au cas où U, V, W,... se réduisent à des points (coord. multipolaires). Coniques définies par l'équation u = eu entre les distances au foyer et à la directrice : La droite qui joint le foyer au point où la tangente coupe la directrice est normale au rayon vecteur.

7. Etant donnée la tangente MT en un point M de la courbe y — f(x), on construit la courbe (C), lieu des milieux des cordes M,M parallèles à MT. Trouver le coefficient angulaire 7” de la tangente en M à cette courbe (C).

R. Soient M (x,y); Mi (xs, y1)3 Ma (dos V2); di — x +- 4, a — x + ha, On a

V4 — : > ÿà T1 — L2 hi =0 T1 + Ta — 2%

Développant y1, y2 suivant les puissances de 4, A2 par la formule de Taylor jusqu'aux termes du 5° ordre, tirant de la première équation la valeur de k, + k, et la portant dans la seconde, on trouve

FLReR 31" (x) ÉRIC 8. Spirale logarithmique : r — ae", a, m constants. R. On trouve

i r L. $ 2 gu—= —-) S,—= — D = nr — = m?, P = —— .

m Tu Se V1 + m2

La courbe coupe le rayon vecteur sous un angle constant. Le podaire a pour équation

r, = ae”bl ; & désignant une constante. Les points T, N, M, décrivent des spirales

semblables à la proposée.

9, Cuardioïde : r — 2a (1 +- cos 6).

Ropu=— 5 S;—=—-rct}6, S;,—=— 2asin86,

T=risinf0, CN: teps Le, Podaire : T1 — 44 COS5 3 bi.