II. — PONCTIONS DE PLLSIKtJRS VARIABLES. l

fyx^ fy*^ ^^ définira de même les dérivées partielles du troisième ordre, du quatrième ordre, etc.; d'une manière générale, étant donnée une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes (0 =/(^, ^, 5, . . ., f), une dérivée partielle d'ordre n est le résultat de n dérivations successives effectuées sur cette fonction f dans un certain ordre, par rapport à quelques-unes des variables qui y figurent. Nous allons établir que ce résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue ces dérivations. Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :

Soit h} ^= f{x, y) une fonction des deux variables Xy j", on o>f'xy=fyx^ pourvu que ces deux dérivées, partielles soient continues.

Nous allons, pour cela, mettre sous deux formes différentes l'expression

où l'on suppose que x^ y, Ajf, Ay aient des valeurs déterminées. Si Ton pose, en désignant par v une variable auxiliaire,

on peut en effet écrire

l'application du théorème des accroissements finis à la fonction f ((^) nous donne

U -= A7«p^.(^-*-6A7), où o<0<i. Remplaçons cp' par sa valeur; il vient encore

^ = ^A/y(^ -h A^, y -i- e Aj) -/'y{x, y -+- e A/) |.

Une nouvelle application de la formule des accroissements finis à la fonction/^(w, y -h^ A^), en y regardant maintenant u comme la variable indépendante, nous donne

U = A:rA7/^j.(a?-+-6'AaT,y-+-0Aj), o<0'< i. D'après la symétrie de l'expression U en x^y^ A^, Aj-, on trou-

lO CHAPITRE 1. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

verait de même, en échangeant le rôle des variables x et y, U = A7 \x/%y(x -+- 0; A:r, y -h e, \y),

0, et 8, désignant encore des facteurs positifs inférieurs à un. Égalons ces deux valeurs de U; en divisant par Ix ly, il reste

fxyi^ -f- ei \x, 7-4-6, ^y) = f].^{x -+- 6' Ar, j. -f- 6 A7) ;

les dérivées f^y et /^.^ étant supposées continues, si Ton fait tendre \x et ^y vers zéro, les deux membres de Tégalité précédente tendent respectivement vers fj,y et /!J.^, et l'on parvient à l'égalité qu'il s'agissait de démontrer.

H est à remarquer que la démonstration précédente ne suppose rien sur les autres dérivées du second ordre /[i-j eiy^i; elle s'applique aussi au cas où la fonction /(:r, j) dépend d'autres variables indépendantes que x ei y^ en nombre quelconque, puisque ces variables doivent être traitées comme des constantes dans les dérivations précédentes.

Cela posé, soit {ù=z/(x, y^ 5, ..., t) une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes et ù une dérivée partielle d'ordre n de cette fonction. Toute permutation, dans l'ordre des dérivations qui conduisent à Q, peut être obtenue par une suite d'échanges entre deux dérivations consécutives el, comme ces opérations ne changent pas le résultat, d'après ce que nous venons de voir, il en sera de même de la permutation considérée. Il suit de là que, pour avoir une notation qui désigne sans ambiguïté une dérivée partielle d'ordre /i, il suffira d'indiquer le nombre de dérivations qui sont effectuées par rapport à chacune des variables indépendantes. Ainsi les dérivées partielles d'une fonction de trois variables to =f(Xy y^ z) seront représentées par l'une ou l'autre des deux notations

/irW(^» r» -5), D%y,zr/{x, 7, 5),

où /> -h ^r -h /' = n. L'une ou l'autre de ces deux notations représente le résultat que l'on obtient en dérivant successivement/? fois par rapport k x^ q fois par rapport ky, r fois par rapport à z, ces opérations étant effectuées dans un ordre arbitraire. Il y a trois dérivées partielles du premier ordre, /j, /l? /^, six dérivées partielles du second ordre, /;„ f^.., /!,, fl^, f],, /;„ ....