II. — FONCTIONS DK PLl'SIELRS VARIABLES. l

Il existe des formules analop^ues pour n fonctions, que Ton établit de la même façon. Si l'on a seulement deu\ fonctions /(x) et ^(^), il suffit de supposer i^(x)r^i pour retrouver la formule des accroissements finis proprement dite.

On doit à M. Schwarz une généralisation analogue (Annali di Maternât ica, a* série, t. X).

n. - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARUBLES.

10. Grénéralités. — Une quantité variable to dont la valeur dépend des valeurs de plusieurs autres quantités variables j*, y, z, . . ., t^ indépendantes les unes des autres, s'appelle une fonction des variables indépendantes x^ y, z, . . . , ^, et Ton indique celle liaison par le symbole wr^/(a:, ^, ^, ..., /). Soit, pour fixer les idées, to z=f(^x^y) une fonction des deux variables indépendantes X eiy; si Ton regarde x et y comme les coordonnées cartésiennes d'un point dans un plan, à tout svslème de valeurs des variables (x, j) correspond un point M, et inversement. Lorsque à tout point d'une aire A, limitée par un ou plusieurs contours de forme quelconque, correspond unç valeur de to, nous disons que la fonction f(x, y) est définie dans la portion A du plan.

Soient (xof y^) les coordonnées d'un point Mo pris dans cctle portion du plan. On dit que la fonction f{x^ y) est continue pour le système de valeurs ^o? JVo? si^ à tout nombre positif t^ on peut faire correspondre un autre nombre positif ti^ tel que l'on ait

à la seule condition que l'on ait |/t' << r,, |/. | < r,.

On peut interpréter comme il suit la définition de la conlinuilé. Imaginons que Ton construise, dans le plan des xy^ un carré de centre Mo, de côté égal à 2Tj, et avant ses colés parallèles aux axes ; le point M' de coordonnées {xq-\- A, ^o-H A) est à l'intérieur de ce carré, pourvu que l'on ait |A| <<t,, |A'|<^r,. Dire que la fonction est continue pour x ^=Xo, >'=J'oï cela revient à dire que l'on peut prendre le côté de ce carré assez petit pour que la différence des valeurs de la fonction au point Mo et en un autre point quelconque de ce carré soit moindre que £ en valeur absolue. Il

l4 CHAPITRB I. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

est évident, d'après cela, que l'on pourrait remplacer ce carré par un cercle de centre (xq^ yo)> car, si la condition précédente est satisfaite pour tous les points situés à l'intérieur d'un carré, elle le sera aussi pour tous les points intérieurs au cercle inscrit. Inversement, si la condition est satisfaile pour tous les points intérieurs à un cercle, elle l'est aussi pour tous les points intérieurs à un carré inscrit dans ce cercle. On pourrait donc définir la continuité en disant que l'on peut faire correspondre les nombres e et 7| positifs de telle façon que l'inégalité [/ h^ -{- k'^ <i 'f\ entraîne l'inégalité

\f(xo-h A, yo-hk) — /(a7o, yo)\< £•

La continuité se définit de même pour une fonction de 3, 4» • •? n variables indépendantes.

Il est clair que toute fonction continue des deux variables x, y est une fonction continue de chacune des deux variables prise isolément, mais la réciproque n'est pas toujours exacte (*).

11. Dérivées partielles. — Si, dans une' fonction continue /(^, ^), on attribue à l'une des variables, y par exemple, une valeur constante, d'ailleurs quelconque, on a une fonction de la seule variable Xy dont on désignera la dérivée, si elle existe, par/!p(:r, y) ^^^ ^»^!r> ^" désignera, de même, par to^ ou/^(:r, j^), la dérivée de la fonction /(a:, y), où l'on regarde x comme une constante et y comme la variable indépendante; f'j.{x^ y) et f'y^x^ y) sont les dérivées partielles de la fonction /( or, ^). Ces dérivées partielles sont elles-mêmes, en général, des fonctions des deux variables x^ y\%\ l'on prend, à leur tour, leurs dérivées partielles, on obtient les dérivées partielles du second ordre de/(j;,^). On a ainsi quatre dérivées partielles du second ordre /^,, y^.

(') Considérons, par exemple, une fonction /(a?, y) égale à —'^ — 5» lorsque

l'une au moins des valeurs de a? ou de ^ est différente de zéro, et égale à zéro, lorsque a7=y = 0. Il est évident que celle fonction est une fonction continue de X lorsqu'on suppose^ constant, et inversement. Cependant elle n'est pas une fonction continue des deux variables x^ y^ pour le système de valeurs a; =y = o, car si le point (a:, ^) tend vers l'origine en restant sur la droite^ = ar, la fonction f{x^ y) a pour limite i, et non pas zéro. L'étude des fonctions de cette nature a été faite par M. Baire dans sa Thèse.