II. — INTÉGRALES DEFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQIES. l

positive de la tangente M|T|. Nous allons chercher une relation entre 0, 6| et les différentielles dsy ds^^ dl. Appelons ar, y<, s, ^i, Jo Zx les coordonnées des points M, M|

respectivement, a, p, y '^^ angles de MT avec les axes, ai, pi, y, les angles de M,T| avec les axes. On a

/«=(:r-.r,)«-h(7-ri)'-H(---i)'; OD en déduit

ldl = {x — Xi){dx^ dxi)-¥- (y — yi){dy — dvi) -h (z — Zi){dz — dzi),

ce qui peut s'écrire en tenant compte des formules (lo) et des forroules analogues pour C| ,

dl= { — - — - cosa-4- •=- — j^-^ cosPh -, — cosyjds

(^1 — ^ Tl y n Z\ — Z \ ,

— j — cosai-+- ^ . ■ cospiH -. — cosYi jrf5i.

Mais — -7— > ^^— T — > . * sont les cosinus directeurs de M, M, et

le coefficient de ds est — cosô. De même, le coefficient de ds^ est — cos6| et Ton obtient la relation cherchée

(lO)' rf/ = — <f5COs6 — û?5iCOsOi,

dont nous ferons souvent des applications. Nous allons en indiquer une.

^- Théorèmes de Graves et de Chasles. — Soient E, E' deux ellipses homofocales; d'un point M de l'ellipse extérieure E', on mène les deux tangcDies MA, MB à l'ellipse E; la différence MA -^ MB — arc ANB reste constante lorsque le point M parcourt l'ellipse E'.

l86 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

Soient s et *' les arcs OA et OB, a Tare O'M, / et /' les longueurs AM et BM, 6 l'angle de MB avec la direction positive de la tangente MT; d'après les propriétés focales, l'angle de MA avec MT est égal à it — 6. En observant que AM coïncide avec la direction positive de la tangente en A et que BM est opposée à la direction positive de la tangente en B, la formule (lo)' donne successivement

dl = — ds -{-di cos6,

dl' = ds' — JjcosO, et, en ajoutant, il vient

d( 1-^1') = dis'— s) = rfarcANB,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Ce théorème est dû à un géomètre anglais, Graves. On démontre de la

même façon le théorème suivant, découvert par Chasles : Étant données une ellipse et une hyperbole homofocale se rencontrant en N, si d'un point M, pris sur la branche d'hyperbole qui passe au point N, on mène les deux tangentes MA, MB à l'ellipse, la différence des arcs NA — NE est égale à la différence des tangentes MA — MB.