IJI. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTÉGRATION PAR PARTIES

et ^, et que cp(/) varie toujours dans le même sens depuis a jusqu'à b lorsque t varie de a à ^3.

L'intervalle (a, p) étant partagé en intervalles plus petits par (les valeurs intermédiaires a, /|, /j» •••) '«-i) ?> soient a, x^^ Tj, ...,Xfl i, b les valeurs correspondantes de x = ^(^). On a, d'après le théorème des accroissements finis,

8, étant compris entre //i et /, ; soit $/=:'^(6/) la valeur correspondante de X, qui est comprise entre Xi-^ et Xi. La somme

/(î,)(x,-a)-+-/(î,)(x,-jrO-h...-h/(U)(^-J^«-i)

a pour limite l'intégrale définie considérée. Mais cette somme peut aussi s'écrire

/[?(Oi)]?'(M(^-»)H-...-^/[?(0/)]?'(e/)(/,— /,o-...,

cl, sous cette forme, on reconnaît qu'elle a pour limite la nouvelle

intégrale définie 1 /[?(^)]?'(0 ^'- C)n a donc l'égalité

/ /{x)dx= / /[o(t)]<f-(t)dt,

qui constitue la formule du changement de variable. On voit qu'on obtient la nouvelle différentielle sous le signe d'intégration en remplaçant, dans /(x)dXy x et dx par leurs valeurs cp(/) et o'[t)dt, tandis que les nouvelles limites sont les valeurs de t correspondant aux anciennes limites. En choisissant convenablement la fonction o{(), il peut se faire que la nouvelle intégrale soit plus facile à calculer que la première, mais on ne saurait donner à cet égard de règles bien pn^cises. Soit, par exemple, à calculer Tintégrale définie

en posant x = a -h ^ ^, il vient

r' dx I r' dt I / a\

l88 . CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

OU, en revenant à la variable x^

g (arc tang —g h arc lang g ) •

Toutes les hypothèses qui ont été faites pour établir la formule (il) ne sont pas indispensables. Ainsi il n'est pas nécessaire que la fonction ç(/) varie toujours dans le même sens lorsque t varie de a à ^. Pour fixer les idées, supposons que t croissant de a à y(y <^ p), ^{t) aille en croissant de a k c{c'^ 6), puis, que t croissant de y à p, <p(f) décroisse de c à 6. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, c), on peut appliquer la formule à chacun des intervalles (a, c), (c, i), ce qui donne

f''f{x)dx= f^/[<f{nW(t)dt; Je ''Y

en ajoutant ces deux égalités, il vient

/ /(x)dx= / /[o(t)]f'(t)di.

Par contre, il est nécessaire que la fonction ç(^) soit une fonction bien déterminée de t. Si Ton ne tient pas compte de celte condition, on peut être conduit à des résultats absurdes. Par

exemple, si à l'intégrale / dx on applique telle quelle la formule (i i) en posant x = ^', on est conduit à écrire

résultat qui est absurde, puisque la seconde intégrale est nulle. Pour appliquer correctement la formule, il faut partager l'intervalle ( — I, -h i) en deux intervalles ( — i, o), (o, i). Dans le premier intervalle, on posera x = — y/^^, et l'on fera varier t de I à o ; dans le second intervalle, on posera x = y/T*, et l'on fera