III. — CETANGEMENT DE VARIABLES. — INTÉGRATION PAR PARTIES

varier / de o à i . On trouve ainsi un résultat exact

Remarque. — Si l'on remplace, dans la formule (i i), les limites supérieures 6 et ^ par des limites variables x et t^ il vient

r/{x)dx^ f /[o{i)]o'{t)dt;

ce qui montre qu'une fonction F(j?) dont la dérivée esty(j:) se change, quand on pose a: = (p(^), en une fonction ^(/) dont la dérivée est/[©(/)](f'(/). C'est aussi ce qui résulte immédiatement de la formule qui donne la dérivée d'une fonction de fonction. Nous pouvons donc écrire, d'une manière générale,

Jf{x)dx^Jf[r,{t)]^'{t)dt',

c'est la formule du changement de variable dans les intégrales iodéfinies.

85. Intégration par parties. — Soient u ci v deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées u' et i^, entre a et 6. On a

d(uv) dv du

dx dx dx

et, en intégrant les deux membres de cette égalité.

l'-'Z-^^-Irt''*/.