V - dx, dx

ce que l'on peut encore écrire

(12) / udv = [iw]'i— I çdu,

en désignant d'une façon générale par [F(^)]* la différence

Si l'on remplace la limite b par une limite variable x, a restant fixe, ce qui revient à considérer les intégrales indéfinies au lieu

IQO CHAPITRE IV. — INTEGRALES DÉFINIES.

des intégrales définies, on a de même

(i3) ludv^uv — I V du.

Le calcul de l'intégrale j udç est ainsi ramené au calcul de ^ l'intégrale 1 çdu, qui peut être plus facile. Soit, par exemple, à calculer l'intégrale définie / x^logxdx, (/n + ip^o); en posant u = logx, ç= » la formule (la) donne

I \osx,x"*ax=\ / x'f^ax

~~mn (m -h i)« Ja*

La -formule ne s'applique plus si w 4-1 = 0; on a, dans ce cas particulier,

La formule (12) peut être généralisée. Désignons par u\ a", ..., ?/^"'^*\ v\ /^ ..., ç^^^+i^ les dérivées successives des deux fonctions u et v. L'application de la formule (12) aux intégrales f udv^"\ /a'rfi^^"~*\ ..., conduit aux égalités suivantes

f u'v^^^dx= f aVi'^«-i^ = [aV'«-»J]J— f u'v^n-Ddx,

En multipliant ces égalités par H- i et — i alternativement et ajoutant, il vient