III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTEGRATION PAR PARTIES. I9I

formule qui ramène le calcul de Tinlégrale / w(>f''+*^ dx au calcul de Tin tégrale 1 u^'^'^^^v dx.

Cette formule s'applique en particulier quand on a sous le signe d'intégration le produit d^un polynôme u de degré n au plus par la dérivée d'ordre (/i-|-i) d'une fonction connue ç; on a, en eÛ'et, a^''"*"*^= o, et le second membre ne renferme plus aucun signe d'intégration. Soit, par exemple, à calculer l'intégrale définie

où f{x) est un polynôme de degré n; on posera u=/{x)^ v= :, et la formule (i4) donne, en mettant e^^ en facteur,

La même méthode, ou, ce qui revient au même, une suite d'intégrations par parties permet de calculer les intégrales définies

Jf cosmxf{x)dx^ I 5\nmx/{x)dx, o\if[x) est un polynôme.

86. Formule de Taylor. — Dans la formule (i4)î remplaçons u par une fonction F{x)y continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre ai 4- i , entre a et 6, et posons v = (b — x)". On a

el la formule devient, en remarquant que r, ç'. r", . . . , v^"~^' s'annulent pour a: = 6,

o = (-i)nïn\Fib) — n\F(^a) — n'.F'(a){b^a)

4(— ,)«+! / F^"-^^^{x)ib'-x)''dx.

19^ CHAPITRE IV. — rNTEGRALES DÉFINIES.

On lire de là

le facteur (6 — x)'^ conservant un signe constant lorsque x varie de a k by on peut appliquer la formule de la moyenne à l'intégrale du second membre, ce qui donne

= -L(6 — a)«+»Fi«+»>(0,

\ étant compris entre a et 6. En substituant cette valeur dans l'égalité précédente, nous retrouvons précisément la formule de Taylor, avec la forme du reste de Lagrange.

87. Transcendance de e. — La formule (i5) permet de démontrer un théorème célèbre, découvert par M. Hermite : Le nombre e n*est racine d'aucune équation algébrique à coefficients entiers (*).

Faisons, dans la formule (i5), a = o, o) = — i; il vient

/ e-^/{T)dx = -[e-'F(x)]i,

où

ce que nous pouvons encore écrire

(i6) F(6) = c'''F(o) — e^ f /(x)e-'dx.

Gela posé, admettons que e soit racine d'une équation algébrique à coefficients entiers

Co H- c, e -h Cj e* -H . . . -+- c„i e'" = o.

Dans l'éj^alilé précédente (i6), faisons successivement 6 = o, i, 2, . . ., /n, et ajoutons les formules obtenues, après les avoir multipliées respectivement par Co, Cl, . . ., c„i, il vient

(17) roF(o)4-CiF(i)-+-...-hC;„F(//0^y]c/e' j /(x)e-^dx = 0,

(') Cette démonslration est due à M. David Hiibert, qui s'est inspiré de la méthode suivie par M. Hermite.