III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTEGRATION PAR PARTIES. IQS

rindice i ne prenant que les valeurs entières o, i, 2, ..., m. Nous allons montrer qu'une telle relation est impossible, si le polynôme f{x), qui est resté arbitraire jusqu'ici, est convenablement choisi. Prenons

f(x) = j xP-^(x — i)P(x — n)P . . .(x — m)P,

p étant un nombre premier supérieur à m; ce polynôme est de degré mp -\-p — I , et, si l'on calcule ses dérivées successives, à partir de la />'""*, tous les coefficients sont des nombres entiers divisibles par //, car le produit de p entiers consécutifs est divisible par/?! D'ailleurs /{x) s'annule, ainsi que ses (/> — 1) premières dérivées, pour x = 1, 2, . . ., m; il s'ensuit que F^i), F(a), ..., F(/n) sont des nombres entiers divisibles par p. Reste à calculer F(o)

F(o) =/(o) -t-/'(o)-+-. . .-4-/'/'-»'(o) -f-/<p)(o) -^/^P-^^^io) -f-. . .;

on a d'abord /(o) =/'(o) = . . . = /fp-«>(o) = o, et//''(o),/</'+»^(o), . . . sont des nombres entiers divisibles par p pour la même raison que tout à l'heure. Pour avoir /'^P-»'(o). il suffit de multiplier par (p — 1)! le coefficient de xP-^ dans/(x), ce qui donne dr (i.a. . . m)P, La somme

CoF(o)-4-CiF(i)-+-...4-c,„F(/w)

est donc égale à un nombre entier divisible par/>, augmenté de

z^Co{i,2,..m)P;

si l'on a pris pour/? un nombre premier supérieur à m et à Cq, ce dernier nombre ne pourra être divisible par /?, et la première partie de la somme (17) sera un nombre entier différent de zéro.

Nous allons montrer maintenant qu'en prenant pour p un nombre premier assez grand, la somme

^c/e^ / f{x)e-'dx

peut être rendue plus petite que toute quantité donnée. Lorsque x varie de o à t, chaque facteur de/(ar) est plus petit que m; on a donc

1 / f{x)e-'dx < : ^- r nf^P-^P-^ l e-^ dx < , - * — : m'^P^P-'^,

et par suite

Sc/^' / f{x)e---^dx\<i M "'^, ^, c'"= «?(/>), «/o I '^ ' *

194* CHAPITRE IV. — INTBGBALES DÉHNIES.

M étant une limite supérieure de |co| + |ei| +. . .+ |c/,i|. Lorsque/) augmente indéfiniment, la fonction (^(p)iend vers zéro, car c'est le terme général d'une série couTcrgente, où le rapport d'un terme au précédent tend vers zéro. On peut donc trouver un nombre premier p assez grand pour que l'égalité (17) soit impossible; ce qui démontre le théorème de M. Hermite.

88. Polynômes de Legendre. — Proposons-nous de déterminer un pol)'nome de degré /i, P/i(ar), tel que TintégraJe

OÙ Q est un polynôme de degré inférieur à n, soit nulle, quel que soit ce polynôme Q. On peut considérer P^ comme la dérivée n'^"" d'un polynôme R de degré an, et ce polynôme R n'est pas complètement déterminé, car on peut lui ajouter un polynôme arbitraire de degré n — i, sans changer la dérivée n'""*. Nous pouvons donc toujours supposer que l'on a

rf«R Pfl = -y— ;j^ le polynôme R s'annulant ainsi que ses (/i — i) premières

dérivées pour x = a. D'autre part, la formule d'intégration par parties nous donne

puisque l'on a, par hypothèse,

il faudra que l'on ait aussi, pour que l'intégrale soit nulle,

Q(6)Rt«-»U^)-Q'(^)ï^^'^*U^)-+----±Q^'*"*U^)R(^) = o.

Le polynôme Q de degré n — i éunt arbitraire, les quantités Q(^),

Q'(^), •••> Q^'*"*^^) sont elles-mêmes arbitraires, et il faudra que l'on

ait aussi , .

R(^) = o, W{b)^o, ..., Wn-l)(b)=0.

Le polynôme R(a?) est donc égal, à un facteur constant près, au pro- <îuit (ar a)^(x — ô)*», et le polynôme cherché P^ est complètement dérainé, à un facteur constant près,

P„=G^[(^-a)»(rr-ô)'»].

Lorsque les limites a et b sont —i et -h i, les polynômes P„ sont les polynômes de Legendre. En choisissant la constante G comme Legendre,

m. — CHANGEMEflT DE VÀRUBLB8. ~ INTEGEATION PAB PABTIES. 196

nous poserons

Si Ton convient en outre de poser Xo= i, on a

Ao=i, Al = ar, Aj= — - — 9 A,=: f ..•;

X^est un polynôme de degré n, où tous les e-^posants de x sont de même parité que n. La formule de Leibniz, qui donne la dérivée n}*^ d'un produit de deu\ facteurs, montre immédiatement que Ton a

D'après la propriété générale que nous venons d*ctablir, on a, <p(x) désignant un polynôme quelconque de degré inférieur à n,

/ X„(p(ar)€£r = o;

en particulier, si m et n sont deux nombres entiers différents, on a toujours

(21) / Xm^ndx — O.

Cette formule permet d'établir très simplement une relation de récurrence entre trois polynômes X;, consécutifs. Observons d'abord que tout polynôme de degré n peut s'exprimer comme fonction linéaire à coefficients constants au moyen de X«, Xi, . .., X». Nous pouvons donc écrire

a?Xrt= GoXrt4-i-+- C|Xrt-i- CjXn i-H GiX^-j-i-. . .,

Co, Cl, Gs, ..., étant des coefficients constants. Pour déterminer C9, par exemple, multiplions les deux membres de cette égalité par X^-s et intégrons entre les limites — î et -Hi; il reste, en vertu des formules (20) et (ai),

Ci / Xî,cte = o,

et, par suite, Ca=o. On démontrerait de même que l'on a Cv = o, C| = o, .... Le coefficient Ci est nul aussi, puisque le produit xX„^ ne renferme pas de terme en ar'*. Enfin, pour déterminer Co et G{, nous n'avons qu'à égaler les coefficients de ar'*-»-*, et à égaler les deux membres pour x = j. Nous obtenons ainsi la relation de récurrence

aa) (n -t- i)X„^.i — (an -+- i)a?Xn-h nX^-, = o,

qui permet de calculer très simplement les polynômes X;, de proche en proche.

La relation (aa) montre que la suite des polynômes

(23) Xo, X], Xo, ..., X;|,

jouit des propriétés d'une suite de Sturm; x variant d'une manière continue de — I à -h I, le nombre des variations présentées par cette suite ne peut changer que lorsque x passe par une racine de X«=o. Or, les formules (19) montrent que, pour x ~ — i, la suite (aS) présente n varialions, et n'en présente aucune pour x-=\. L'équation Xrt = o a donc n racines réelles, comprises entre — 1 et -f-i; ce qui résulte aussi très facilement du théorème de Rolle.

IV. - EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTEGRALE. INTÉGRALES CURVILIGNES (').

89. La fonction à intégrer devient inûnie. — Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction à intégrer restait finie entre les limites de Tintégration. On peut, dans certains cas, étendre la définition à des fonctions devenant infinies entre les limites. Considérons d'abord le cas particulier suivant l/{^) est continue pour toute valeur de œ comprise entre a et 6, et pour x = b, mais elle devient infinie pour x = a. Nous supposerons, pour fixer les idées, a<C b. L'intégrale de /(^), prise entre les limites a + e et b (£>>o), a une valeur finie, aussi petit que soit e. Si cette intégrale tend vers une limite lorsque s tend vers zéro, on convient, comme il est naturel, de représenter cette limite par

/(x)dx.

Lorsqu'on connaît une fonction primitive de/{x)^ soit F(j;), on a

f{x)dx^- F(6) — FU-+-e)

et il suffit d'examiner si ¥{a -\- z) tend vers une limite lorsque e tend vers zéro. On a, par exemple,

r^ M dr M r I i l ^

(• ) Le lecteur peut, sans inconvénient, lire le Chapitre suivant avant les derniers paragraphes de ce Ciiapitre.