IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D*INTÉGRALE. I

Si |x>i, le terme -y^— augmente iDcléfiniment lorsque s tend vers zéro; au contraire, si jjl est moindre que un, on peut écrire — — = £*"!*, et Ton voit que ce terme tend vers zéro avec e. L'inlégrale définie tend donc vers une limite

Mdx M(b — a)i-V-

SI [JL = I , on a

et le second membre augmente indéfiniment lorsque e tend vers zéro. En résumé, pour que l'intégrale considérée ait une limite, il faut cl il suffit que jjl soit moindre que un, La courbe qui a pour équation

admet la droites = a pour asymptote, si [jl est positif. Cependant Taire comprise entre l'axe des a:, une ordonnée fixe x-b^ la courbe et son asymptote a une valeur finie, d'après ce qu'on vient de voir, pourvu que l'on ait [jl -< i .

Lorsqu'on ne connaît pas de fonction primitive de /(^), on procède par comparaison avec des intégrales connues. On prend le plus souvent l'intégrale précédente comme terme de comparaison, ce qui conduit à quelques règles pratiques, suffisantes dans beaucoup de cas. Observons d'abord que la limite supérieure b n'intervient pas dans les raisonnements, car tout dépend de la façon dont/(:r) devient infinie pour j: = a. On peut remjdacer b par un nombre quelconque c compris entre a et b^ ce qui

revient à écrire / = / -h / • En particulier, si f{x) n'a pas

une infinité de racines dans le voisinage de a: = a, on peut supposer que/(;r) conserve un signe constant entre a et c. Nous établirons d'abord le lemme suivant : Soit ^{x) une fanera • tion positive dans V intervalle (a, 6), telle que j o{x)dx ait

une limite. Si l'on a constamment \f{x)\<.^{j^ dans cet

intervalle, l^ intégrale définie f f{x)dxa aussi une limite.

Si f{x) est positive, la démonslratîon est immédiate. On a, en effet, puisque /*(:c) est moindre que ç(^),

Jf f{x)dx< 1 ^(x)dx;

d'ailleurs / /{^) dx augmente lorsque e diminue, puisque tous

ses éléments sont positifs. L'inégalité précédente montre qu'elle est constamment moindre que la limite de la seconde intégrale; elle a donc elle-même une limite. Si/(a^) était négatif enlre a et 6, on n'aurait qu'à changer le signe de tous les éléments. Enfin, si la fonction y*(a:) a une infinité de racines dans le voisinage de ^ = a, nous pouvons écrire

f Ax)dx=f [f{x)-^\f{x)\]dx^ f \f{x)\dx,

La seconde intégrale du second membre a une limite puisque \/{x)\ < <f{x). D'autre part, la fonction /(x) -+- \/{x)\ est positive ou nulle entre a et 6, et sa valeur absolue ne peut être supérieure à '2^{x); l'intégrale

[f{^)-^\f{^)\]dx

a donc aussi une limite. On déduit de là que, si une fonction/(:r) ne tend vers aucune limite pour x =1 a, tout en restant inférieure en valeur absolue à un nombre fixe, l'intégrale a une limite. Par

exemple, l'intégrale 1 sin- dx a une valeur déterminée. Je ^

Règle pratique, — Supposons que la fonction /(or) puisse se mettre sous la forme

la fonction '!^{x) restant finie lorsque .r tend versc7. Si on a (Ji < 1 , et si la fonction ^(x) reste moindre en valeur absolue qu'un nombre fixe M, lUntégrale a une limite. Si Von a ijl^ i, e/ sila