IV. — BXTKfSIQNS DIVEâSBS Dl LA NOTION D*INTÊGRALB

valeur absolue de ^{x) est supérieure à un nombre positif m^ l'intégrale n'a pas de limite, La première partie de la proposilion est immédiate. Eq effet, la

valeur absolue de J{x) sera moindre que — — — — , et l'intégrale

de celle dernière fonction a une limite, puisqu'on suppose |x < i. Pour démontrer la seconde partie, observons d'abord que ^{x)^ restant supérieur en valeur absolue à un nombre positif m, conserve un signe constant dans le voisinîige de x = a. Supposons i({x) >• o entre a et 6; nous pouvons alors écrire

f fKx)dx> f

mdx

et la seconde intégrale augmente indéfiniment, lorsque e diminue. Ces règles sufliseot toutes les fois qu'on peut trouver un exposant [x lel que le produit (x — a)^f{x) ait, pour a? = a, une limite K différente de zéro. Si |x est inférieur à un, on peut prendre la limite 6 assez voisine de a pour que l'on ait dans l'intervalle (a, 6),

L étant un nombre positif, supérieur à |K|.. L'intégrale a donc une limite. Au contraire si jjl^i, on peut prendre b assez voisin de a pour que l'on ait, dans l'intervalle (a, h)^

l étant un nombre positif inférieur à |K[. D'ailleurs la fonclion/(x), étant continue, conserve un signe constant et, par suite,

l'intégrale / /(x)dx augmente indéfiniment en valeur absolue.

Exemples. — Soit/(vF) = ^ une fonction rationnelle; si a est

une racine d'ordre m du dénominateur, le produit (x — a)^f{x) tend vers une limite différente de zéro pour x =^ a. Comme m est

au moins égal à un, on voit que l'intégrale / f{x)dx croît au

da-¥t

delà de toute limite lorsque s tend vers zéro. Supposons au con-

•200 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DEFINIES.

traire

P et R élan t deux polynômes etR(;r) étant premier avec sa dérivée;

a étant une racine de R(:r), le produit (^ — ciyf{oc) a une limite pour »r = a; Tintégrale a donc elle-même une limite. Ainsi

a pour limite - pour e = o.

Prenons encore l'intégrale / \o^xdx\ le produit x^\o%x a

zéro pour limite; à partir d'une valeur de x assez petite on peut

i donc écrire log^<;Ma: % M étant un nombre positif cKoisi à volonté. L'intégrale a donc une limite.

Tout ce qui a été dit de la limite inférieure a peut être répété sans modification pour la limite supérieure b. Si la fonction y(:r)

est infinie pour x^^ b^ on définira l'intégrale / f{x)dx comme la limite de l'intégrale / f{x) dx^ lorsque e' tend vers zéro. Si f{x) est infinie aux deux limites, on définira / f{x) dx comme la

limite de l'intégrale / fi-^) dx^ lorsque £ et s' tendent vers zéro,

indépendamment l'un de Tautre. Soit c un nombre quelconque compris entre a et 6; nous pouvons écrire

f f{x)dx= l f{x)dx^ l f{x)dx,

et chacune des intégrales qui sont au second membre doit admettre une limite. Enfin, siy*(^) devient infinie pour une valeur c com-

prise entre a et 6, on définit l'intégrale / f{x)dx comme la

f /(x)dx^ I /(x)djr,