IV. — EXTENSIONS DIVERSKS DE LA NOTION ù'iNTKGRALE
el l'on procède de la même façon pour un nombre quelconque de discontinuités comprises entre a et b.
Il est à remarquer que 1h formule fondamentale (6), qui a élé établie en supposant/(j:) continue entre a el b^ s'applique encore si f{x) devient infinie entre ces limites, pourvu que la fonction primitive F(;r) reste continue. Pour fixer les idées, supposons que la fonction f{x) ne devienne infinie que pour une valeur c comprise entre a et b. On a
f f{x)dx = \\m f f{T)dx-^\\m f f(x)dx\
si F(j;) est une fonction primitive de /{x)j nous pouvons écrire ceci :
/{x)dx = IimF(c — Ê')--F(rt)-h F(6) — lim F(o -f- s).
La fonction F(x) étant supposée continue pour x ^= c, F(c -i- s) et F(c — c') ont la même limite F(c), et par suite il reste
/(x)dx = Fib)-F{a).
Par exemple
Si la fonction primitive F(x) devient elle-même infinie entre a et 6, la formule n'est plus applicable, car Tintép^rale qui est au premier membre n'a, du moins jusqu'à présent, aucune significalioD.
Les formules du changement de variable et de l'intégration par parties s'étendent de la même façon aux nouvelles intégrales, en les considérant comme limites d'intégrales ordinaires.
90. L'une des limites devient infinie. — Soit/(j:) une fonction continue de x pour toute valeur de x supérieure à un nombre a.
L'intégrale / /(x)dxj où />> rt, a une valeur finie, aussi grand
que soit /; si cette intégrale tend vers une limite lorsque / augmente
indéfiniment, on représente cette limite par / f(x)dx.
Lorsqu'on connaît une fonction prîmîlive de f{x)^ il est facile de voir si l'intégrale a une limite. Ainsi l'on a
dx
= arc tang/;
lorsque / augmente indéfiniment, le second membre a pour
TC
limite -> et nous pouvons écrire
dx -ïr
On a de même, en supposant a positif et a — i différent de
zéro,
-^ kdx k
r kdx k / j. \\ ,
J^ XV- ~ ,-iJLV/{^-i a{^-«/'
si |JL est plus grand que un, le second membre tend vers une limite lorsque /croît indéfiniment, et l'on peut écrire
* X: dx
