IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D*L\TBGRALE. '2o
la fonction *^(a:) restant finie pour x Infini, on a les théorèmes suivants, que je me borne à énoncer :
Si^(x) est inférieur en valeur absolue à un nombre JixeMy et [JL supérieur à un, l'intégrale a une limite.
Si ^(x) est plus grand en valeur absolue qu^un nombre positif m, et ix inférieur ou égal à un, l'intégrale n^a pas de limite.
Par exemple, l'intégrale / ££i?*^ Jx a une limite, car on peut
écrire
' cosax
et la fonction qui multiplie — ^ est inférieure à un en valeur absolue.
La règle précédente suffit lorsqu'on peut trouver un nombre positif [JL tel que le produit x^f{x) tende vers une limite différente de zéro pour x infini. L'intégrale a une limite si [x est plus grand que un, et n'a pas de limite si |jl est inférieur ou égal à un.
Par exemple, pour que l'intégrale d'une fraction rationnelle ait une limite, lorsque la limite supérieure de l'intégrale augmente indéfiniment, il faut et il suffit que le degré du dénominateur surpasse le degré du numérateur d'au moins deux unités. Prenons encore
fl .^ P(^) slK{x)
Pet R étant deux polynômes de degrés p et r respectivement; le
produit x^ f{^) ^ "'^^ limite difl'ércnte de zéro pour x infini. Pour que l'intégrale ait une limite, il faut et il suffit que l'on
ait/><J-i.
91. Les régies précédentes ne suffisent pas toujours pour décider si une intégrale a une limite ou non. Prenons par exemple
f[x) = ; le produit xV-f(x) a pour limite zéro lorsque |jl est
moindre que un, et peut prendre des valeurs supérieures à tout nombre donné si [x est plus grand que un. Ce produit oscille
204 C1I\PITRB IV. — INTEGRALES DKFINIES.
entre 4-1 et — i, si [x =r 1 . Aucune des règles énoncées ne s'applique; cependant l'intégrale a une limite. Considérons l'intégrale un peu plus générale
X — I e-«' dx (a^o);
la fonction sous le signe d'intégration change de signe pour a: =:/r7:. Nous sommes conduits à étudier la série alternée
(24) cf^— a,H- a,— aa...-i-(— i)«a„-T-...
où l'on pose
sinx , e-»' dx
(10= I (?-3cx dx ai = — / e-a^ — - dx.
le terme général 0,1 peut encore s'écrire, en changeant j: enj-r-nr.^
a„^- I e-«J-"a^ ^'"-^ dr.
Jo y-^niz -^
Il est évident que la fonction sous le signe d'intégration diminue quand n augmente, et, par suite, on a a„^.|<C^/i; d'ailleurs, le
ternie général On est moindre que / — > c'est-à-dire que — • La
série précédente est donc convergente, puisque les termes vont en décroissant en valeur absolue et que le terme général tend vers zéro. Si la limile supérieure / est comprise entre mz et {n -\- i)ir, nous pouvons écrire
e-^—^ dx^Sn-±(ict„, o<0<i, 0 ^
S// étant la somme des n premiers termes de la série (24); lorsque / augmente indéfiniment, il en est de même du nombre entier /?, an tend vers zéro, et l'intégrale a pour limite la somme S de la série (24)»
On démontrera de la même façon que les intégrales
' s'inx^dxy I cosx^dx, 0 •^o
