I -t- a:*sin
cette fonction est constamment positive si x est positif, elle ne tend pas vers zéro, car on sl /(kit) = kiz. Pour faire voir que l'intrgrale a une limite, considérons comme plus haut la série
où
X dx
On— I
\ -+- x*sin*a?*
X variant de mr à (/i 4- 1)-, x* est supérieur à n^'n''', et l'on a
, /-'"-^•"^ dx
Une fonction primitive est
- — arc lang(/i -+- n^ii^ langar)
J^ variant de mz à (/i-f-i)7t, tangar devient infinie une seule fois en pas- ^'ant (le -h » à — x; donc l'intégrale est égale ( n" 11) à =-=z et l'on a
La série Sa/, étani convergente, l'intégrale / f{x)dx a une limite.
Il est d'ailleurs évident que, si/{x) a une limite h différente de zéro pour a? infini, l'intégrale ne peut avoir de limite, car, à partir d'une valeur
a06 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.
assez grande de x,f{x) sera supérieur en valeur absolue à — et gardera
un signe constant.
Les raisonnements qui précèdent offrent une grande analogie avec ceux que Ton emploie dans Tétude des séries. Le lien intime qui existe entre les deux questions a été mis en évidence par un théorème de Gauchy, qui sera exposé plus loin (Chap. VIII); enverra en même temps de nouveaux critères permettant de reconnaître si une intégrale a une limite ou non, dans des cas plus étendus que ceux que nous avons traités.
92. La fonction r(a). — L'intégrale définie (25) r{a)= f x^-^e-^dx
a une valeur déterminée, pourvu que a soit positif. Considérons en effet les deux intégrales
/ x^-*e-^dx, j x^-^e-^dXf
où e est un nombre positif très petit, et / un nombre positif très grand. La seconde intégrale a toujours une limite, car à partir d'une valeur de x
assez grande on a ic«-te-*< — -, ce qui revient à écrire ^*> x^-^^. Quant
à la première intégrale, le produit rF*-«/(j:) a pour limite i lorsque a: tend vers zéro; pour que l'intégrale ait une limite, il faut et il suffit que i — a soit inférieur à un, ou que a soit positif. Supposons cette condition remplie; la somme des deux limites est la fonction T(a), appelée aussi inté^ grale Eulérienne de seconde espèce. Cette fonction F (a) devient infinie lorsque a tend vers zéro; elle a une valeur positive pour toute valeur positive de a, et augmente indéfiniment avec a. Elle présente un minimum pour X = i,46i632i . . ., et la valeur correspondante est o,8856o3!i. ...
Intégrons par parties la formule (aS) et supposons a>i; en considérant e~' dx comme la différentielle de — e--', il vient
r(a)= — [a7«-«c-']J*-h(a — i) l x^-^e-^dx;
Jq
mais le produit x^-^e-^ est nul aux deux limites, puisque a>i, et il reste
L'application répétée de cette formule permet de ramener le calcul de r(a) au cas où l'argument a est compris entre o et i. Il est facile d'en déduire la valeur de r(a), lorsque a est un nombre entier. On a d'abord
