IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D INTEGRALE
la formule précédente donne ensuite successivement, en faisant a = a, 3, ..., rt, ...,
r(a)=r(i) = i, r(3) = ar(a) = i.a,
et, d'une manière générale, si n est un nombre entier positif,
93. Intégrales curvilignes. — Soient AB un arc de courbe plane continu, et P{x,y) une fonction continue de deux variables Xjy le long de AB (x, y désignant les coordonnées d*un point de AB par rapport à deux axes situés dans son plan). Prenons sur Tare AB un certain nombre de points de division /Wi, m^^ . . . , 772/, .. ., de coordonnées {xs^ys). (j^aj^a)? • • •? {^hyi)i • • . , et sur chacun des arcs m/.i nxi prenons encore un point /i/ à volonté, de coordonnées (Ç/, Yi/). Considérons la somme
^ ^ \ -4-P(?/, T,,)(x,— ar/-,)-!-...
étendue à tous les intervalles partiels; lorsque le nombre des points de division augmente indéfiniment, de façon que chacune des différences xi — Xu\ tende vers zéro, la somme précédente lend vers une limite que Ton appelle Vinlégrale curviligne de P(x, j^) étendue à Tare AB, et que l'on représente par le symbole
V{x,y)dx,
AB
Pour démontrer Texlstence de cette limite, supposons d^abord qu'une parallèle à Oy ne puisse rencontrer Tare AB en plus d'un point. Soient a et 6 les abscisses des points A et B et j^ = <f{x) l'équation de l'arc AB; <f{x) est une fonction continue de x dans rintervalle (a, 6). Si l'on remplace j^ par <f{x) dans r(x,y)j le résultat est également une fonction continue ^(x) = P[^, ?(^)]î et l'on a
La somme précédente peut donc s'écrire
elle a donc pour limite l'intégrale définie ordinaire
et, par suile,
f ?{x,y)dx= f P[x,o{x)]dx.
Si une parallèle à Taxe Oy peut rencontrer Tare AB en plus d'un point, on partagera cet arc en plusieurs autres dont cliaciin n'est rencontré qu'en un point par une parallèle à Oy. Étant donné, par exemple, un arc de courbe tel que ACDB (Jlff. i4)» soient C
Fig. i4.
et D les points oii Fabscisse est maximum ou minimum. Chacun des arcs AC, CD, DB satisfait à la condition précédente, et nous écrirons
f P(x,y)dx= f P{x,y)dx-^ f P{x,y)dx-i- f P{x,y)dx;
mais il est à remarquer que, pour calculer les trois intégrales du second membre, on devra remplacer^ par trois fonctions différentes de la variable x dans P(x^y)*
Les intégrales curvilignes / Q(:r, y)dy se définissent de la
même façon ; ces intégrales, comme on le voit, se ramènent immédiatement aux intégrales définies ordinaires, mais leur introduction se justifie par leur utilité. Nous ferons remarquer aussi que Tare de courbe AB peut se composer de portions de courbes absolument distinctes, telles que droites, arcs de cercle, etc.
Un cas très fréquent dans les applications est celui où les coor-
