Plan tangent à une surface. — De même que la dérivée

dz/i — X»

l-ha:*'

ii!sf -\- uv',

uv — uv'

l8 CHAPITRE I. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

d'une fonction d'une seule variable donne la tangente à une courbe, les dérivées partielles d'une fonction de deux variables interviennent dans la recherche du plan langent à une surface. Soit

l'équation d'une surface S; nous supposons que la fonction F est continue et admet des dérivées partielles continues en un point (^o>^o) du plan des xf^ auquel correspond la valeur Zo pour :; et un poinl Mo(j:o>^0) ^o) de la surface S. Considérons une courbe quelconque G située sur la surface et passant au point Mo, el soient

les coordonnées d'un point de cette courbe exprimées en fonction d'un paramètre variable t; /{l)y 'f (^), ^(^) sont trois fonctions conlinues du paramètre t qui se réduisent respectivement à Xq, JKoj ^0 pour une valeur particulière ^o de t, La tangente à cette courbe au point Mo est représentée par les équations (n° 5)

(A\ X — 3-0 ^ Y— ^0 ^ Z — Zq

D'autre part, puisque la courbe G est située sur la surface S, on a la relation

qui doit être vérifiée, quel que soit t. Les deux membres doivent donc être identiques ; prenons la dérivée du second membre d'après la règle qui donne la dérivée d'une fonction composée, et faisons t = Cq, Il vient

(5) f('o)=/'(^o)F;.-f-cp'(^o)F;,.

Entre les équations (4) et (5) on peut éliminer /'(^o)> <? ('o)> 'Y{to)j et le résultat de l'élimination est

(6) Z-^o=(X-;ro)F;.-+-(y-yo)F;,;

cette équation représente un plan, qui est le lieu des tangentes à toutes les courbes situées sur la surface et passant au point M©. On l'appelle le plan langent à la sur/ace.

13. Passage des différences aux dérivées. — On a défini les dérivées