FONCTIONS DE PLUSIEUE8 VARIABLES. I

de proche en proche, les dérivées d'ordre n se déduisant des dérivées d*ordre n — 1, et ainsi de suite. Il est naturel de se demander si Ton ne pourrait pas définir directement une dérivée partielle d'ordre n comme limite d'un quotient, sans passer par l'intermédiaire des dérivées d'ordre inférieur à n. Nous avons fait quelque chose de ce genre pour /^y(voir n**il), caria démonstration donnée plus haut prou>e que /^^r est la limite du rapport

/Car -4- ^T, y -t- Av) — /(^-+- A^, y) — f(x, y -+- \y)-hf(x, y)

Ix ly

lorsque Ax et \y tendent tous les deux vers zéro. On démontre de la même façon que/^« est la limite du rapport

f(T -^hx^h^)^f(T^hx) -f(x -h A,) -4-/(ar)

lorsque Ai et h^ tendent Ttin et l'autre vers zéro Si Ton pose, en effet,

Mx)r=f{x^h,)--f{x),

ce rapport peut s'écrire ou encore

La limite de ce rapport est donc la dérivée seconde /i«, pourvu que celte dérivée soit continue.

Passons maintenant au cas général. Soit, pour fixer les idées,

une fonction de trois variables indépendantes. Nous poserons

A^o) =/{x H- h, y, z) -/(ar, y, z), A*to:-r/(a?,>'4-A-, z)—/{x,y, z\ litù^^/ix.y.z-hlj—fix^y, z);

aJo), A^'w, Aio) sont les différences premières de to. Si l'on considère h, X% / comme des constantes données, ces trois différences premières sont elles-mêmes des fonctions de or, y, 5, dont on peut prendre les différences relatives à des accroissements /ii, ky, Ix des variables, et l'on a ainsi les

différences secondes A^r^A^u), A^r'A^to, Le procédé peut se continuer

indéfiniment; une différence d'ordre n se défînira comme une différence première d'une différence d'ordre /i — i. Gomme on peut intervertir l'ordre

20 CHAPITRE I. — DERIVEES ET DIFFERENTIELLES.

de deux quelconques des opérations précédentes, il suffira d'indiquer les accroissements successifs attribués à chaque variable. Une différence d'ordre n sera représentée par un symbole tel que le suivant

^(n)^a— aJ-'A^»... A*f A*'... A*fAi'... A{r/(a?,j', z) où p -h q -h r = n,

les accroissements ht, A:/, // pouvant être égaux ou inégaux. Cette différence peut s'exprimer au moyen d'une dérivée partielle d'ordre n; elle est égale au produit

Al Al. .,hpki . . .kqli ,.. Ir

tous les 0/ étant compris entre o et i. La formule a déjà été établie pour les différences premières et secondes. Pour démontrer qu'elle est générale, admettons qu'elle est exacte pour une différence d'ordre n — i, et soit

?(^, y, z)=^i*... A^» A*' . . . aJi7A'j . . . \[rf. on aura, par hypothèse,

Mais la différence n'*"* considérée est égale à

ç(a?H- Ai,7, Js) — <^(x,yj z),

et il suffit d'appliquer de nouveau la formule des accroissements finis à celte différence pour parvenir à la formule que l'on voulait démontrer. Inversement, la dérivée partielle /i^yy^»- est la limite du rapport

Ai» A*? . . . A^» A** . . . A*^ Al' . . . A^-/ hihi, , , hp kl ki . . . kqii ,. . Ir

lorsque tous les accroissements A, A:, / tendent vers zéro.

Il est intéressant de remarquer que cette définition des dérivées partielles d'ordre supérieur est quelquefois J)lus étendue que la définition ordinaire. Considérons, par exemple, la fonction

où les fonctions cp(a7) et '^{y) n'admettent pas de dérivée. La fonction lo n'admet pas non plus de dérivées partielles du premier ordre; il n'y a donc pas lieu a fortiori déparier des dérivées partielles du second ordre. Cependant, si l'on adoptait la nouvelle définition, on serait conduit, pour trouver /i^, à chercher la limite du rapport

f(x-hh, Y-^k)—f{X'^h,y)—f{x, Y^k)-^f{x,y) hk