V. — FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES

Nous pouvons écrire

(33) F(a-f-A3i)-F(a)= r [/(x, a -+- Aa)-/(ar, «)] ûtr;

la fonction y(x, a) étant continue, on peut prendre Aa assez petit pour que la différence sous le signe d^intégration soit moindre en valeur absolue qu'un nombre positif donné à Tavancee. L'accroissement AF(a) sera donc moindre en valeur absolue que e|X — Xq\\ ce qui prouve la continuité.

Si la fonction /(x, a) a une dérivée par rapport à la variable a, on a

f{x, an-Aa)— /(ar, a) = Aa[/a(:r, a) -4- e],

6 tendant vers zéro en même temps que Aa. On peut donc écrire, en divisant les deux membres de (33) par Aa,

désignons par tj la limite supérieure de e en valeur absolue, la dernière intégrale est moindre en valeur absolue que r, |X — Xq\ et, en passant à la limite, il vient

(34) -di^J /«(^>«)^^-

Pour que la conclusion soit absolument rigoureuse, il faut être assuré que Ton peut prendre Aa assez petit pour que le nombre e soit moindre que tout nombre positif 'r\ donné à l'avance, et cela pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites Xq et X. Il en est certainement ainsi lorsque la dérivée /«(a?, a) est ellemême continue. En effet, le théorème des accroissements finis donne

/(ar, a-^ Aa)— /(JT, «)= Aa/i(ir, a -t- 6 Aa); o<e<i,

on a, par conséquent,

e =/'a(^, a H- e Aa) — /a(^, «).

Si la fonction /a ^st continue, la différence e sera moindre quev), quels que soient x et a, pourvu que [ Aa| soit inférieur à un nombre positif h choisi assez petit {voir plus loin, Chap. VI).

2l8 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DÉFINIES.

Supposons maintenanl que les limites X el Xq sont elles-mêmes des fonctions de a. On peut écrire, en désignant par AX et Ax© les accroissements correspondants à un accroissement Aa,

F(a-i-Aa)— F(a)^ r [/{x, a -h £iOi)-'/(x, oi)\dx

ou, en appliquant le théorème de la moyenne aux deux dernières intégrales et divisant par Aa,

F(a-4-Aa) — F(a) r^ f(r, a-^ ^i)—f(x,aL) , ■ — • CiX

Aa X ^*

-+-^/(X-4-9AX, a-^Aa)— ^/(aro-+-Ô'Axo,a-hAa).

Lorsque Aa tend vers zéro, la première intégrale a la même limite que plus haut, et il vient, en passant à la limite,

(35) ^ = rV'a(^, OL)dx-^ ^/(X, a)- ^^/(^o, a).

C'est la formule générale de différentiation sous le signe 1 .

Toute intégrale curviligne pouvant se ramener à une somme d'intégrales définies ordinaires, la formule s'y étend immédiatement. Par exemple, soit

F(a)= f P(x,y,a)dx-^q(x,y,a)dy

une intégrale curviligne prise le long d'un arc AB qui est le même, quel que soit a; on a

F'(a)= f PU^, r, a)dx -i- qU^, y, x)dy,

l'intégrale étant prise le long de la même courbe. Au contraire, les raisonnements supposent essentiellement que les limites sont finies et que la fonction à intégrer ne devient pas infinie entre ces limites. Nous examinerons plus loin les cas où ces conditions ne sont pas satisfaites (Chap. VIII).

La formule (35) est souvent employée pour obtenir la valeur