V. — FONCTIONS REPBB8BNTBES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES

de certaines intégrales définies, en les rattaclianl à d'autres intégrales plus faciles à calculer. Par e:xeniple on a, si a est positif,

' dx

-i = -7^ arc tanff ,

0 *--T-«* ua y^a

et, en appliquant la formule (34) ai — i fois de suite, on en déduit

^ r' dx rf«-« / 1 X \

(— I )'»-» i.2...(/i — i) / ; — — = -. i ( —rz arc tang-— \ •

98. Exemples de discontiiiuité. — Lorsque les conditions supposées ne sont pas toujours remplies entre les limites de l'intégration, il peut arriver que l'intégrale définie soit une fonction discontinue du paramètre. Considérons par exemple l'intégrale définie

F(cr)

sinot dx

larcosa ■

cl'

cette intégrale a une valeur finie, car les racines du dénominateur sont imaginaires, sauf dans le cas où a = Xrir; mais il est clair que, dans ce cas, on a F(a) = o. Supposons par conséquent sin x ^ o ; en posant

X = cosa-+- t sina,

il vient, en prenant d'abord l'intégrale indéfinie,

/sinaé/x C ^t r — / T = arc tanc/.

I — 2ircosa-+-ar' J i-^t^

L'intégrale définie F(a) est donc égale à

(I — cosa\ / — I — cosa\ : ) — arc tang ( ■. > sina / ®\ sina /

les arcs étant comptés de — -- à -• Mais on a

I — cosa — I — cosa

sma sina

TZ

et par conséquent la différence des arcs est égale à di -• Pour savoir le

signe qu'on doit prendre, il suffit de remarquer que tous les éléments de

l'intégrale ont le signe de sina. On a donc F(a)= =t -, suivant que sina

est positif ou négatif; la fonction F(a) est discontinue pour toutes 1-es valeurs a = A: iT. Ce résultat n'est nullement en contradiction avec le rai-

sonnement fait au début de ce paragraphe. En effet, lorsque x varie de — i

à -f- 1, et a de — e à -t- e, par exemple, la fonction sous le signe / devient

indéterminée pour les systèmes de valeurs a = o, x — — i, et a = o, rr — -4- I, qui font partie de ce domaine, quelque petit que soit e.

Il serait facile de multiplier les exemples. Prenons encore l'intégrale

sm/nar , dx\

en faisant le changement de variable mx = y, il vient

le signe db dépendant du signe de m, car les limites de la nouvelle intégrale sont les mêmes que celles de la première si m est positif, et doivent être renversées si m est négatif. Nous avons vu (n** 91) que l'intégrale du second membre est une quantité positive N. L'intégrale considérée est donc égale à d= N, suivant le signe de m.