VI. — CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES DEFIMES

\l\-i-x^ reste compris entre i et yj'i. L'intégrale cherchée est donc comprise entre les deux intégrales

Jr' dx i^ r' dx

^ V^i — X* /aj^ /i— j;«

c'est-à-dire entre — ^ et -• On peut trouver deux limites plus

rapprochées en observant que (i 4-^^) * est plus grand que i ->

i comme le montre le développement de (i -^ a) ' par la formule de Tajlor, limitée aux deux premiers termes. L'intégrale I est donc supérieure à

Jr' dx I r^ x^dx

la dernière intégrale a pour valeur 7 (voir n^ lOo) et, par suite, 1 est compris entre — et -•

Il est clair qu'on n'obtient de cette façon que des indications sur la valeur exacte de Tintégrale. Pour avoir des valeurs plus approchées, on partagera l'intervalle (a, b) en intervalles plus petits à chacun desquels on appliquera la formule de la moyenne. Pour fixer les idées, supposons que f{x) aille constamment en croissant depuis a jusqu'à b. Divisons Tinlervalle («, b) en n parties égales (6 — a=nh); d'après la définition même de Pinlé-

grale, / /{x) dx est comprise entre les deux sommes

S = h[f{a -+- h)-^-/(a -^ ih)-^...^f{a -+- nh)].

En prenant pour valeur de Pinlégrale — — > Terreur commise est

certainement inférieure à S — 5= ~ [/(^) — /(^)]- ^^ ^^"

leur peut s'écrire

f[a^(n-i)h]-i-/(a-^nh)) ^

222 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DEFINIES.

si Ton observe que -\/{a -^ ih) -j-f[a -h{i -\- i)A]| représente

l'aire du trapèze qui aurait pour hauteur A et pour bases /{a -\- ih) et /(a -h ih -h h) y on voit que la méthode revient à remplacer l'aire de la courbe j^ =/(.»), comprise entre deux ordonnées voisines, par l'aire du trapèze rectiligne aj^ant pour bases ces deux ordonnées. La méthode est pratique, quand on n'a pas besoin d'une grande approximation.

Prenons, par exemple, l'intégrale l j; si l'on prend n = 4î

on a pour valeur approchée de l'intégrale

et Terreur commise est moindre que -^ =0,0625. On en déduit

une valeur approchée de irqui a une décimale exacte 3, i3o8.

Si la fonction /(^) ne varie pas dans le même sens lorsque x croît de a à 6, on partage cet intervalle en plusieurs autres pour lesquels cette condition soit satisfaite.

100. Interpolation. — Voici une autre méthode pour évaluer l'intégrale i /(x)da; : On fait passer une courbe parabolique d'ordre n

par (n -f- i) points Bo, B| , . . . , B;, pris sur la courbe y ^=f(^x)^ entre les deux points d'abscisses a et è, et l'on prend pour valeur approchée de l'intégrale à évaluer la valeur de l'intégrale

détinie / (f{x)dxy qu'il est facile de calculer.

Soient (xq^ yo)j (j?i, /i), ..., (a:,,, yn) les coordonnées des (n H- i) points B©, B» , . . • , B^. Le polynôme ^{x) est donné par la formule d'interpolation de Lagrange

OÙ le coefficient X/ de jk/

(x — Xo)...(x — Xi-i)(x — .r/+,) . . . ( J? — Xn)

(a:/— Xq).,. {Xi—xt^i)(xi— Xi^x) . . . (a:/— t«)