VI. — CALGLL APPROCHÉ DBS INTÉGRALES DÉFINIES

est un polynôme de degré n qui s'annule pour les valeurs données x^^ x^^ . . . , x„, sauf pour x = Xi, et qui est égal à un pour X = Xi. On a donc

J ^{x)dx-^yi l Xidx;

or, nous pouvons écrire

iro=a-+-6o(^ — a), art = a -f- 6|(6 — a), ..., Xn = a -^^n(à — a),

6«, 0,, ..., Oy, étant des nombres croissants de o à i, et, en faisant le changement de variable a:=:a-h(6 — a)i, la valeur approchée de l'intégrale prend la forme

(36) (6 -a)(Koro-4-K,j^, -+-... + K„r„),

où Ton a posé

J, (e/-eo)...(0/-0/-,)(0,-6/^,)...(0,-e„) •

Si, quelle que soit la fonction /(j?), on décompose l'intervalle (a, b) en intervalles plus petits dans un rapport constant, les nombres 80, Oj, ..., 8^ et, par suite, les coefficients K,- sont indépendants de /(x). Ces coefficients étant calculés une fois pour toutes, on n'a plus qu'à remplacer j^o»/ij • • • 7 J^/i P^^ leurs valeurs correspondantes dans la formule (36).

Lorsque la courbe y=:f{x)y dont on veut avoir l'aire, est donnée graphiquement, il est commode de diviser l'intervalle (a, b) en parties égales, et Ton n'a plus qu'à mesurer sur cette courbe des ordonnées équidistantes. Si l'on divise en deux parties

égales, on doit prendre 6© = o, 8| = - > 8^ = 1 , ce qui donne pour valeur approchée de l'intégrale

ï= — g— (ro-^47I-H7^)• On trouve de même, pour n = 4,

224 CHAPITaE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

et, pour n = 5,

La méthode précédente est due à Côtes. Celle de Simpson est un peu différente. Imaginons l'intervalle (a, b) divisé en 2/1 parties égales, et soient yo)^i 5^2 > •••î^aw'^s ordonnées correspondant aux points de division. Si Ton applique la première formule de Côtes à Taire comprise entre deux ordonnées d'indice pair consécutives, telles quej'o et ^2» ^2 et^4, .. ., on trouve pour valeur de Faire totale à évaluer

et, en réduisant, on est conduit à la formule de Simpson

101. Méthode de Gauss. — Dans la méthode de Gauss, on prend d'autres valeurs pour les quantités 9/. Voici comment on y est conduit : Admettons que l'on puisse trouver des polynômes de degrés croissants, qui diffèrent de moins en moins de la fonction à intégrery*(a:), dans l'intervalle (a, b). Admettons, par exemple, que l'on ait

le reste R2ii(^) étant moindre qu'un nombre Cme s,, pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b (*); nous ne connaissons pas en général les coefficients a/, mais ils n'interviennent pas, comme on va le voir, dans le calcul. Soient maintenant Xq^ Xif . . . , Xn-i des valeurs de x comprises entre a et 6, et o{x) le polynôme de degré n — i, qui prend les mêmes valeurs que /(a:) pour les valeurs Xq, x^, ^2» • • • ? ^«-i- La formule d'interpolation de Lagrange montre que ce polynôme peut s'écrire

Iw — I

(*) C'est une propriété générale des fonctions continues dans Tintervalle (a» 6), d'après un théorème de Weierstrass. ( Voir plus loin, Chapitre IX.)