VI. — CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DÉFINIES

Om Cl Wk élant des poljnomes de degré n — i au plus. Il est visible que le polynôme <pm(-^) ne dépend que des valeurs choisies Xq^ X|, . . .; J?/i|. D'autre part, ce polynôme ^m{^) doit prendre les mêmes valeurs que x"* pour x = Xq, x = Xi , . . . , x ^^ j:„ i ; car, si Ton supposait tous lésa/ nuls, saufa^, ainsi que R2//(^),/(^) se réduirait à a^ x*" et f (^) à 0Lmfm{j^)' La différence jr^ — ^fii^) doit donc être divisible par le produit

P«(.r ) (x — To)(x ~ Tx ) . . .(jr — J^,i-i ),

et Ton doit avoir x"* — ^^(x) =• PnQm-n{^)j Qm-iï(^) étant un polynôme de degré m — /i, si m^/i, et x"' — '^;„(x)=^o, si m

est ^ /i — I . Cela posé, Terreur commise en remplaçant / f{x) dx par / o[x)dx est égale à

I-es termes qui dépendent des coefficients ao, a,, ..., a„i sont identiquement nuls et Ton voit que Terreur commise dépend uniquement des coefficients a„, a„^,, . . ., 0L2n-i et du reste R2„(x). Or en général ce reste R2/1 est 1res petit par rapport aux coefficients OLft, a,,^,, . . ., 0L-2,t-t] on aura donc de grandes chances pour augmenter Tapproximation, si Ton peut disposer de Xq, x,, . . . , x„|, de façon que les termes qui dépendent de a./, ot.,/a.,, ..., ^2n-t soient nuls aussi. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les n intégrales

f P„Qo^x, f PnQidx f p„q„^dT

soient nulles, Q/ étant un polynôme de degré /. Nous avons vu plus haut (n° 88) qu'on satisfait à ces conditions en prenant

il suffira donc de prendre pour x^^ .r,, . . . , x„-\ les n racines de

Téquation P„ = o, racines qui sont bien comprises entre a et b.

Ilij CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÊFINIKS.

Lorsque l'on a a= — i, 6 = -j-i, cas auquel on peut ramener tous les autres par la substitutions* :r^ — — -| ^— t. les

valeurs Xq^ ^,, ..., X/,| sont les racines du polynôme de Legendre X„ = o. On trouvera dans le Traité de Calcul intégral de M. Bertrand (p. 842) les valeurs de ces racines, ainsi que des coefficients K/ de la formule (36), jusqu'à n - 5, avec 7 et 8 décimales.

L'erreur commise dans la méthode de Gauss est égale à

les fonctions Wi{x) ne dépendent pas de la fonction dont on cherche l'intégrale. Pour avoir une limite de l'erreur commise, il suffit donc de connaître une limite de R2„(x), c'est-à-dire de savoir avec quelle approximation la fonction y*(j:) peut être représentée par un polynôme de degré 9.n — i dans l'intervalle (a, 6), sans qu'il soit nécessaire de connaître ce polynôme.

On peut aussi, pour calculer la valeur numérique d'une intégrale définie, développer en série la fonclion /(.i) et inl«'grer ensuite terme à terme la série obtenue. Nous verrons i)lus loin (Chap. VIll) à quelles conditions cette opération est légitime et quelle est l'approximation qu'elle donne.

102. Planimètre d'Amsler. — On a imaginé un grand nombre d'appareils pour mesurer, par des moyens mécaniques, l'aire d'une courbe plane (*). Un des plus ingénieux est le planimètre d'AmsIer, dont la tliéorie offre une application intéressante des intégrales curvilignes.

Considérons une droite rigide mobile dans un plan, et les aires tl>,, ^Ij des courbes décrites par deux points A], Aj de cette droite, lorsque, dans son mouvement, elle revient à sa position initiale au bout d'un certain temps. Soient (xi,^i), (j"î,^s) les coordonnées des deux points Aj, Aj, dans un système d'axes rectangulaires, / la distance des deux points, et 0 l'angle que fait avec Ox la direction AiAj. Pour définir le mouvement de la droite, il faut supposer que Xi, yi et 0 sont des fonctions périodiques d'une certaine variable indépendante /, qui reprennent les mêmes valeurs lorsque t augmente de T. On a a:j — j?, -^ / cosO, ^1 = J^i -i- /sinÔ, et.

(* ) On en trouvera la description dans un Ouvrage de M. Abdank-Abakanowics : Les intégrapheSf la courbe intégrale et ses applications. ( Gauthier-Villars, 1S86.)

M. — CALCiL APPROCHE DES INTEGRALES DEFINIES. 227

par suite,

-H /(coft6 dy^ — sinO dr^ -f- arjCOsO </0 -4-^isinO cW).

En désignant par ol-i, ^\ les aires dos courbes décrites par les points A|, Aj, ces aires étant évaluées avec la convention générale faite plus liaut ( n* 96), on a

^^'1 ^ \ I OTidyx—yxdxiy .U= ^ j Xidy^—y^dx^,

et, par conséquent, en intégrant les deux membres de Tégalité,

,l,= ,l,,H I (/(} -h- - / cosô^j'i — sin6f/jr, -h / (xiCosO -+-J^isin6)û^0,

toutes les intégrales étant prises entre les limites (q el /o-hT pour la

variable /. Il est clair que / r/0 — aKr, K étant un nombre entier qui

«lépend du mouvement de la droite. D'autre part, on a, en intégrant par parties,

/x|Cos6f/)— :ri siiiO — isinO^/j^i, / yi sin 0 d) —. — y^ co^ ^ ~^ 1 ^^'^ ^ ^^fi »

or jTi sinô et^i cosO reprennent la même >aleur lorsque / croît de /o î* ^0-+- T. Nous pouvons donc écrini

. l, j = A. i-\- Kt./' -h i I cos 0 dyi — sin 0 dxi ;

soient s l'arc <le la courbe décrite par Ai, compté positivement dans un sens déterminé, à partir d'une origine arbitraire, et a Tangle que fait avec Ox la direction positive de la tangente, on a encore

cosO dyi — sin 6 dj^i = (sin a co'^ô — sinô cos a) ds = sin V ds^

V étant l'angle que fait avec la direction choisie sur la droite la direction positive de la tangente, compté positivement comme en Trigonométrie. La formule précédente peut encore s'écrire

(38) .Vj=.\..,H-KT:/2-h/ AinV^A-.

Soit Aj un troisième point de la droite, à une distance /' de Ai", on a de même, pour l'aire de la courbe décrite par A3,

ih) a.3= 1,-4- kr/'î-f- /' AinV

ds.

Si entre ces deux formules on élimine l'intégrale inconnue / sin\ dsj il vient

/'a.2— /cl,3=(/'—/)vl>, -h Kir //'(/— /'>,

relation qui peut encore s'écrire

(4o) clU,(23) 4- A.,(3i) -h .\ci(ii) -4- K7r(i2)(23)(3i)= o,

en désignant par (ik) la distance des deux points A/, AA(t, A==i, 2, 3) affectée d'un signe. Pour donner une application de cette formule, considérons une droite AjAj de longueur (a -h 6) dont les extrémités A| cl Aj décrivent une même courbe fermée convexe C; le point A3 qui divise AiAj en deux segments de longueur a et b décrit aussi une courbe fermée C intérieure à C. On a ici

Xî=r,l>i, (i2) = a-i-^, (23) = — ùj (3i)=— ûr, K = i,

et il vient, en divisant par a -+- ^,

o/v>i — c;\o3 = 7Z ilO J

or fX>i — A03 représente Taire comprise entre les deux courbes C, C. On voit que celle aire est indépendante de la forme de la courbe C. Ce tbéorème est dû à M. Holditch.

Au lieu d'éliminer / sinVû^5 entre les formules (38) et (39), éliminons «Aoi, il vient

(4i) el,3= .lo2-hK7r(/'«— /^)H- (/'— /) jslnVds;

le planimètre d'Anisler offre une application de celte dernière formule.

Kl g. 20.

Soit A1A2A3 une tige rigide articulée en A^ avec une autre tige OAj. Le point O étant fixé, on fait décrire à rextrémité A3, qui est munie d'une pointe, le conlour de l'aire que l'on veut évaluer, le point Aj décrit un arc de cercle, ou une circonférence entière suivant la nature du mouve-

ment. Dans tous les cas, on connaît Aoj, K, /, /', et il suffira de connaître

rintégrale / s\n\ ds pour avoir l'aire cherchée Jbj. Celte intégrale est

prise le long de la courbe Ci décrite par l'extrémité Af Cette extrémité porte un cylindre de révolution gradué dont l'axe coïncide avec l'axe même de la tige Ai A3, et qui peut tourner autour de cet axe.

Considérons un déplacement infiniment petit de la tige, qui amène AiAtAs dans la position Aj A'^A,. Soit Q le point de rencontre des deux droites Al Aj et AJA^; du point Q comme centre décrivons un arc de cercle A, ot, et du point Ai abaissons la perpendiculaire A', P sur AiAj. Pour amener la tige de la première position à la seconde, on peut imaginer qu'elle glisse d'abord sur elle-même de façon que Ai vienne en a. Dans ce mouvement, le cylindre glisse le long de la génératrice de contact, et la rotation est nulle. Si l'on fait ensuite tourner la lige autour de Q, de façon que a vienne en Ai, la rotation du cylindre est mesurée par l'arc a Ai. Or

les deux rapports -t-tb' .,1 kf tendent respectivement vers i et sinV A| 1 arCi\.|i\.i

lorsque l'arc Ai Ai tend vers zéro. On peut donc écrire a Ai = A5(sin V-+- e),

e étant infiniment petit avec Aj. La rotation totale du cylindre est, par

suite, proportionnelle à la limite de la somme 2A*( sin V -h e), c'est-à-dire

à l'intégrale / sinVc?5. Il suffit donc de mesurer cette rotation pour en

déduire l'aire cherchée.

i. Démontrer que la somme -+ 1- . . .H a pour limite loga,

lorsque n augmente indéfiniment.

On prouve que cette somme a pour limite l'intégrale définie / •