Démontrer que l'on a / — ^-^ ^ — dx = ' loga

[On peut poser J7=langcp et partager l'intégrale obtenue en trois parties.]

'G. Trouver la valeur de l'intégrale définie / log(i — i a cosa? -¥ a- ) dx.

[Poisson.]

En partageant l'intervalle de o à tt en n parties égales et appliquant une formule connue de Trigonométrie, on est conduit à chercher la limite, pour n infini, de l'expression

T^ • fa — • - 1

-iog[— ,(a"-.;J;

si a est compris entre — i et -i- i, Celte limite est nulle. Elle est égale à i: loga', si a*> I.

J/^^ ^\nxdx f / ^=^ — :» où a est positif, est égale ç y/i — 'ioLCOix-^T.' ^ ®

a 2 SI a est < I , et a - si a est > i .

*8. Pour qu'une fonction /(ar) soit intégrable dans un intervalle (a, ^), il faut et il suffit qu'à tout nombre positif e corresponde une subdivision de l'intervalle telle que la différence S — s des sommes correspondantes soit plus petite que e.

Soient /(a*) et ^{x) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, 6)

ciiaj Xiy Xi, ..,y b) une division de cet inlervalle. Si l'on prend deux valeurs quelconques ^/, t)/ dans chaque intervalle partiel (wr/-i, rr/), la sooiDie -/(Ç/)o(r^/)(X| — ^V-t) a pour limite Tintégrale définie

f{ x)o{x)dx.

10. Soit/(^) une fonction continue et positive dans l'intervalle {a, b). Le produit des deux intégrales définies / f{x)ax, j -j, — : est minimum lorsque la fonction est constante.

l'indice d'une fonction (n** 77) entre x^ et xx^ On a la relation

où i = -^i, lorsque /(Xo) > o, /(xjX o, e=— i lorsque /(jto) < o, /(^i) > o, et e = o lorsque /(Xo) et/(a:i) ont le même signe. On applique la dernière formule de la page 176 aux deux fonc-

lion8/(j-), -^

*I2. Soient U et V deux polynômes de degrés /i et /t — i premiers entre

eux. L'indice de la fraction rationnelle yj» entre les limites — x et h- x

de la variable, est égal à la diiïérence entre le nombre des racines imaginaires de réquation U -h e V = o, où le coefficient de i est positif, et le numbre de ces racines où il est négatif.

[Hermite, Bulletin de la Société mathématique y t. VJI, p. ia8.]

'13. Établir le second théorème de la moyenne au moyen d'une intégration par parties.

Soient /(a:) et <p( a:) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, b) dont la première /(jt) est constamment croissante ou constamment décroissante et admet une dérivée continue. On a, en posant

4>(j* ) — / ^{x) dx, et intégrant par parties,

ff{x)^{x)dx^f{b)^{b)-f /\x)^{x)dx;

la dérivée /'(x) ayant un signe constant, il suffit maintenant d'appliquer la première formule de la moyenne à la nouvelle intégrale.

14. Vérifier que l'inlégrale définie j JC dy — y dx, prise le long d'un contour fermé, se change en une intégrale de même forme quand on passe d'un système d*axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires de même disposition.