III. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE
qui est égal à
hk
Le numérateur de ce rapport est toujours nul; il a donc zéro pour limite, et nous sommes conduits à écrire /iy= <>(*)•
m. - NOTATION DIFFÉRENTIELLE.
La notation difTérentielle, la plus ancienne des notations employées, est due à Leibniz. Quoiqu'elle ne soit pas indispensable, elle ofTre des avantages de symétrie dans les formules et de généralité qui sont très appréciables, surtout dans Tétude des fonctions de plusieurs variables. L'origine de cette notation se trouve dans la considération des infiniment petits.
14. Différentielles. — On appelle quantité infiniment petite, ou simplement infiniment petit, toute quantité variable qui tend vers zéro. La condition que la quantité soit variable est essentielle ; une quantité constante, aussi petite qu'on la suppose, n'est pas un inGniment petit.
Habituellement on considère plusieurs quantités qui sont infiniment petites en même temps, et l'on choisit l'une d'elles comme terme de comparaison ; c'est V infiniment petit principal. Soit a cet infiniment petit principal, et ^ un autre infiniment petit;
on dit que ^ est infiniment petit par rapport à a, si le rapport -
tend vers zéro. Au contraire, on dit que ^ est un infiniment petit
(*) On peut faire des remarques analogues pour les fonctions d'une seule variable. Par exemple, la fonction /(x) = a:'cos— a pour dérivée
f'ix) = Sar^cos h a?sin- »
et /'{x) n'admet pas de dérivée pour x = o. Cependant le rapport
ou 8a cos aa cos- a pour limite zéro lorsque a tend vers zéro.
22 CHAPITEB I. — DÉRIVÉES ET DIFFÉEENTIELLB8.
du premier ordre si le rapport - tend vers une limite K différente de zéro. S'il en est ainsi, on a
a £ étant un autre infiniment petit; on en tire
P = a(K-t-e)= Ka-t- as,
et Ka s'appelle \dL partie principale de p. Le terme complémentaire ae est infiniment petit par rapport à la partie principale. D'une manière générale, si l'on peut trouver une puissance positive
de a, telle que a", de façon que le rapport ~ tende vers une
limite finie K différente de zéro, p est un infiniment petit d'ordre n. On a alors
OU
P = a'»(KH-e)=Ka«-4-a'»e;
Ka** s'appelle encore \di partie principale.
Cela posé, soity z=f(^x) une fonction continue admettant une dérivée /'(^); attribuons à a: un accroissement A^, et désignons par Ay Taccroissement correspondant de y. D'après la définition même de la dérivée, on a
e tendant vers zéro en même temps que A^; si l'on considère A:r comme Tinfiniment petit principal, ^y est lui-même un infiniment petit dont la partie principale esif'(x)lix. C'est celle partie principale qu'on appelle la différentielle de^ et qu'on représente par dy
djr=f(x)\x.
Lorsque la fonction /(a;) se réduit à x, la formule précédente se réduit à dx = Aj?, et l'on écrit pour plus de symétrie
djr=f(x)dx,
mais en convenant de considérer l'accroissement dx de la variable
m. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE. a")
indépendante comme une quantité constante, d^ailleurs quelconque.
Considérons sur la courbe C, représentée parréquationy=/(x),
Fig. I.
P Ç jc
les deux points M et M' d'abscisses x ti x -{- dx. Dans le Iriangle MTN on a
NT = MN langfMTÎ = dxf\x)\
NT représente donc la différentielle dy^ tandis que ^y est égale à NM'. Il est visible sur la figure que la partie M'T est infiniment petite par rapport à NT, lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M.
Les diff'érentielles successives se définissent de proche en proche comme les dérivées successives. Ainsi l'on appelle différentielle du second ordre la différentielle de la difi'érentielle du premier ordre, dx étant toujours considéré comme une constante, et on la représente par d'^y
d^y = d{dy) = [f{x) dx] dx ^/"{x) dx^.
On a de même pour la diff*érentlelle troisième
d^y = d{d^y) = [/'"(x) dx^]dx ^f"{x)dx\
et ainsi de suite. D'une manière générale, la diff*érentielle d'ordre /i, qui se définit comme la diff'érentielle de la difi'érenlielle d'ordre n — i , a pour expression
d'^y —/(«)( a:) dx".
Les dérivées f'{x), f"{x), . . ., f^"^{x), . . . peuvent inversement s'exprimer au moyen des difl^érentielles, et l'on a une nouvelle
notation pour représenter les dérivées
A chaque règle pour calculer une dérivée correspond une règle pour calculer une différentielle. On a, par exemple,
dx^ = mx»^-^dXf da^ = a*loga dx^
dXosx =1 — > ds\nx = cosxdx, ...,
. . dx , dx aarcsinjr= , __> a arc tança: = ;•
Arrêtons-nous un moment sur le cas d'une fonction de fonction. SoitjK =/(^)ï ^ étant une fonction de la variable indépendante x ; on a
yx=/'(«)"i,
et, en multipliant les deux, membres par dx^ il vient
y'xdx =z f\u) X u'xdx^
c'est-à-dire
dy=.f'(u)du,
La formule qui donne dy est donc la même que si u était la variable indépendante. C'est là un des avantages de la notation différentielle. Avec la notation des dérivées, on a deux formules différentes
pour représenter la dérivée de y par rapport à or, suivant que y est donné directement en fonction de x^ ou que y dépend de x par l'intermédiaire d'une autre fonction u. Avec la notation différentielle, la même formule s'applique aux deux cas. S\ y r=/(uj p, w) est une fonction composée, on a
et, en multipliant par dx, il vient
yxdx = u'j:dx/'u-+- v'xdx/'^,-h w'xdxfl^,y c'est-à-dire
dy =/u du -h/'^ di^ + /h, dw.
Ainsi
V du — u dv
d{uv) = udv -{- V duy ^(~)
1!1. — NOTATION DIFFÉBENTIBLLE. 2^
Les mêmes règles permettront de calculer les différentielles successives. Soit, par exemple, à calculer les différentielles successives d^une fonction de fonction y ^/(u); on a déjà trouvé
Pour calculer rf*y, il faut remarquer que du ne doit pas être traité comme constant, puisque u n'est pas la variable indépendante. On a donc à calculer la différentielle d^ine fonction composée/'(a) rfé/, où u et du sont deux fonctions intermédiaires, ce
qui donne
d^y=f(u)du*-^/'(u)d^u.
Pour calculer d^y, il faudra considérer d^y comme une fonction composée avec trois fonctions intermédiaires w, du, d^u\ on trouve de cette façon
d^y =f'"{u) du^-^ 3/'( w) du d^u-h/'iu) d^u,
et ainsi de suite. Il est à remarquer qu'à cause des termes en d^u^ d^ u^ .., les formules qui donnent les différentielles d^y, d^y^ . . . ne sont plus les mêmes que si u était la variable indépendante. Les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables se représentent par une notation analogue. Ainsi la dérivée partielle d'ordre n de /(x, y, z) qui est représentée, dans la notation de Lagrange, par f^^fy^zr est représentée, dans la notation de Leibniz, par
'ôxi'ôj'TiJz'''*
cette notation est purement symbolique et ne représente nullement un quotient, comme dans le cas d'une fonction d'une seule variable indépendante.
15. Différentielles totales. — Soit co =/(^, y, z) une fonction de trois variables indépendantes x^ y^z\ on appelle différentielle totale diù l'expression suivante
diû= -^ dx-\- -- dy -^ -T- dz,
dx oy ôz
où dx^ dyy dz sont trois accroissements constants, d'ailleurs arbitraires, attribués aux variables indépendantes x^ y, z. Les
trois produits ~ dx^ ~- dy^ j- dz sont les différentielles partielles.
. La différentielle totale du second ordre rf^co est la différentielle totale de la différentielle totale du premier ordre, les accroissements dxy dy, dz restant constants et toujours les mêmes quand on passe d'une différentielle à la suivante. On a donc
a^co = didiù) = — — dx h r — dy H ; — dz,
^ ^ ôr dy '^ ùz
ou, en développant,
\dx^ àxdy -^ Ox 0z ]
\dx dz ày dz " dz* J
dx* dy* -^ ds*
. , Jclxdy-hi-—^dxdz-^ii-r-4-dydz.
dx dy "^ dxdz dy dz
Si l'on remplace, dans le second membre, d^f par cj/^, on a le développement du carré Ae -^ dx -\- -^ dy -\- ^dz; on peut donc écrire l'égalité symbolique
d'.=(Md.^iCd^^^i,y'\
\dx dy -^ dz J '
OÙ Ton doit convenir que d/'^ doit être remplacé par â-f après le développement du carré. Cette loi est générale; si nous convenons d'appeler différentielle totale d^ordre n la différentielle totale de la différentielle totale d'ordre n — i, on a, quel que soit /i, l'égalité symbolique
-Hf^^'^%''-l'T-
df"^ devant être remplacé par 0*^/ après le développement. Cette loi étant vérifiée pour /i = i , /i = 2, il nous suffira de montrer que, si elle est vraie pour rf^'o), elle est encore vraie pour 6?"+* o).
