Les arcs correspondants des deux courbes
ont la même longueur, quelles que soient les fonctions /( 0> ?(0'
18. Étant données dans un plan n courbes Ci, Gs, ..., G,i, on abaisse
d'un point M du même plan des normales MPi, . . ., MF» à ces courbes.
Soit // la longueur MP/. Le lieu des points M tels que l'on ait une relation
de forme donnée F(/i, /j, ..., lf,) = o entre les n longueurs /,- est une
courbe F. Si Ton porte sur chaque droite MF/, et dans un sens convenable.
àF une longueur proportionnelle à -r-.-» la résultante de ces n segments donne
la direction de la normale à la courbe F. Extension aux surfaces.
19. Soit G une courbe fermée. Sur la tangente en un point m de G, on prend deux points /?, p' de part et d'autre de m, tels que mp = mp', la longueur m/? variant d'après une loi arbitraire. Les aires des deux courbes décrites par les points /?, p' sont égales. Gas où la longueur mp est constante.
20. L'aire comprise entre une courbe fermée convexe et une courbe parallèle, obtenue en portant sur les normales une longueur constante /, est égale à d= :: /* -t- s/, s étant la longueur de la courbe fermée.
21. Soit G une courbe fermée. Le lieu des poinls A tels que l'aire de la podaire correspondante ait une valeur donnée est un cercle dont le centre est fixe.
On définit la courbe G par son équation tangentiellc
xcost -f-^sinf =/(; ).
22. Soient G une courbe fermée, Ci la podaire de celte courbe relativement à un point Â, Gs le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point A sur les normales à G. On a, entre les aires de ces trois courbes, la relation A = A'>t — A>i.
D'après les propriétés de la podaire (n° 36), si p et a> sont les coordonnées polaires d'un point de G|, les coordonnées du point correspondant de Gj sont p' et w -H -» et celles du pf»int correspondant de G
sont /• = /p* -h p'* et o = u) H- arc tang — •
23. Lorsqu'une courbe G roule sans glisser sur une droite, tout point A invariablement lié à la courbe G décrit une courbe appelée roulette : 1° l'aire comprise entre un arc de la roulette et la base est égale au double de Taire correspondante de la podaire du point A par rapport à G; 2" Tare de la roulette est égal à l'arc correspondant de la podaire.
[Steiner.]
Pour démontrer ces théorèmes par l'analyse, soient X, Y les coordonnées du point A par rapport à un système d'axes mobiles formé parla tangente et la normale en un point M de G, s l'arc OM compté à partir d'un point fixe 0 de G, et to Tangle des tangentes en O et en M. On établit les relations
ds-i-d\==\ dui, d\ -h X^w = o,
d'où les propositions se déduisent.
*24. L'erreur commise dans la méthode de quadrature de Gauss a pour expression
in-^\ L I . u . . . ( 2 n — I ) J \ étant compris entre — 1 et -f- 1 .
[Mansion, Comptes rendus, 1880.]
