I. — INTBGAATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. JtBS

on a

\dx A

{^x — a Y'^ (fil — i){x — u)'"-^

el, si m = I ,

/ — \ ^os(x — « ) ;

nous omellODS, pour abréger, la constante G qui doit être ajoutée au second membre. 11 n'y a donc plus à examiner que les fraclions simples provenant des racines imaginaires du dénominateur. Afin de simplifier l'écriture, posons

ce qui donne

Pi Ton a deux sortes d'intégrales

r tdt r di

La première se calcule aisément en remarquant que tdt est la moitié de la difliérentielle de i -f- /*-; on a donc, si n > i ,

r tdt I ?^*

J (i-j- /^;« ~ ■2(/i — i)(i-i- r-y^~^ ~" K^n — i)[ûr— a)2-+- S^]"-»'

et, si /i =1 I .

Il ne reste plus que les intégrales

si /i^ I , on a immédiatement la valeur de cette intégrale

r dt x — oc

I ^-^ = arc tang/ = arc lang— ^ ;

si n est plus grand que un, on emploie une formule de réduction permettant de ramener le calcul de l'intégrale proposée au calcul d'une intégrale de même forme où l'exposant de i + /- est diminué d'une unité. Nous pouvons écrire, en désignant par 1,,

t236 CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINI KS.

l'intégrale en question,

intégrons par parties / -— > en posant

fdt I

(I H- <>)« Hn — i)(i -i- /«)«-»

il vient

r t^rff t I r dt

Remplaçons cette intégrale par sa valeur dans la relation précédente, il reste

Changeons dans cette formule n en n — i , puis en n — 2, et ainsi de suite; nous serons ramenés à l'intégrale I| = arctang/. En remontant ensuite de proche en proche, on a finalement

(•xn — 3)(2/i — 5). . . 3. 1 ^ ,^.^^

!/!=> ~7 /< --, arc tang^-H 1^0»

R(^) étant une fonction rationnelle de t dont il serait facile d'avoir l'expression; nous observerons seulement que le dénominateur est (i-t-^^)""* et que le numérateur est de degré inférieur à 2n — 2 (voirn'* 97, p. 219).

En définitive, l'intégrale d'une fonction rationnelle se compose d'une partie qui est elle-même rationnelle et de termes transcendants de l'une des formes suivantes

log(.r— a), log[(^ — a)*-4- ?«], arc tan g- ~"

Soit à calculer, par exemple, l'intégrale /—.;-• ^^ dénominateur admet deux racines réelles -j- i et — i , et deux racines imaginaires -h f et — i\ On a donc, en décomposant en fractions simples,

A B Cr-hD