I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. 2Zy

pour déterminer le coefficient A, multiplions les deux membres par X — I et faisons ensuite x = i y il vient A = > et Ton trouve

de même B= — -- L'identilé préct''dente peut alors s'écrire

I ' /__J ! \ ^^jT-hD

ou, en réduisant le premier membre,

Cx-hD

on doit donc prendre G = o, I) = » et nous pouvons écrire

ce qui donne

/ — ; - -, lofj ( ) arc lança".

Remarque. — La méthode précédente, quoique absolument générale, n'est pas toujours la plus simple. On peut quelquefois abréger le calcul par des artifices convenables. Prenons, par exemple, Tinlégrale

si /« > 1, on pourrait, soit décomposer en fractions simples en séparant les racines -f- i el — i , soit employer une formule de réduction comme pour l'intégrale I,,. Mais on l'obtient d'une façon plus

élégante en faisant le changement de \ariable :r = ^» ce qui

donne

\z > ch X* — I — - - ^ » (fx ^ >

yi-z)-^ {i — zf-

En développant (i — z)-'^'^ par la formule du binôme, on n'a plus à intégrer que des monômes de la forme A^^, [jl pouvant être d'un signe quelconque.

238 CHAPITRE V. — INTEGRALES INDÉFINIES.

lOi. Méthode de M* Hermite* — Nous avons supposé jusqu'ici la fraction à intégrer décomposée en fractions simples, ce qui exige que l'on connaisse les racines du dénominateur. La méthode suivante, due à M. Hermite, permet de trouver la partie algébrique de l'intégrale sans connaître ces racines et n'exige que des opéralions élémentaires, c'est-à-dire des additions, multiplications et divisions de polvnomes.

Soit ^ — — la fraction rationnelle à intégrer, dont nous pouvons

supposer les deux termes premiers entre eux. La théorie des racines égales permet de meUre le polynôme F(j:) sous la forme

F(-r) = x,XîX3...x;;,

X|, X-, . . ., Xy, étant des polynômes qui n'ont que des facteurs linéaires simples et qui n'ont deux à deux aucun facteur commun. On peut ensuite décomposer la fonction proposée en fractions simples ayant pour dénominateurs X|, X*^, . . *, X^,

A| étant un polynôme premier avec X/. On sait en elïet, d'apivs la tht'orie du plus grand commun diviseur, quVtant donnés deux polynômes premiers entre eux X et Y, et un polynôme quelconque Z, on peut toujours trouver deux autres polynômes A et B donnant lieu à l'identité

BX-i- AV = Z.

Prenons X = X|, Y = X^ . . . X^, Z =y*(.r); l'identité précédente devient

BX,-+-AX:...X;;r-/(jr),

ou, en divisant par F(\r),

et il est clair, d'après l'identité précédente, que, si /(x) est premier avec F(^), A est premier avec X, et B est premier ayec X^...X^. En recommençant les mêmes opérations sur la