III. — NOTATION DIFFERENTIELLE

La loî éUnl admise pour d^tû, on a, en développant,

où )[> -h 5^ 4- r = n, le coefficîenl ^pqr élant le même que le coefficient de dxPdyidz^ dans la puissance /i*^«*« du trinôme

{dx -^dy-\-dzYy c'est-à-dire

A = Li^^iiZ»

On déduit de la formule précédente

.^•^ , dxP'^^dy'idzr -4- ^ , ^ ^/, ^ ^. dxP dyl-^^ dzf-

si l'on remplace maintenant d'»+*/ par c^/"""*"*, le second membre peut s'écrire symboliquement

2A„. ^{-^ dxPdyldzrl^I dx+^/-dy+% dz).

OU encore

\ôx ôy -^ Oz ) \àx dy -^ ôz j .

On a donc bien, avec les mêmes conventions,

d->^^.^i'Ida:^'/-dy-.%d.r-\ \dx dy -^ Oz I

Remarque, — Supposons que, par un moyen quelconque, on ait obtenu l'expression de la différentielle totale rfto

(7) rfo) = Pc^jF-hQ^7-f- Rû?5,

P, Q, R étant des fonctions de ^, jk, z. Comme on a par définition

din — - dx -\- —- dy -^ - - dz, àx dy '^ dz

on en déduit la relation

\dx

or dx^ dy^ dz sont, par convention, des constantes quelconques. Il faudra donc que l'on ait séparément

Téquation (7) est équivalente aux trois relations distinctes (8) et nous fait connaître à la fois les trois dérivées partielles du premier ordre.

Plus généralement, si Ton a obtenu, par un moyen quelconque, la différentielle totale d'ordre n

d"(ii = XCpqr dxP dyi dz^^

les coefficients Ç^pqr sont égaux, à des facteurs numériques près, aux dérivées partielles d'ordre n de (o. On a ainsi à la fois toutes les dérivées partielles du même ordre; nous verrons un peu plus loin une application de cette remarque.

16. Différentielles successives d'une fonction composée. — Soit (0 = F(f^, ç^, iv) une fonction composée, u^ p, w étant des fonctions des variables indépendantes x^ y^ z, t; écrivons les expressions des dérivées partielles du premier ordre

di^ dF du àF dQ dF dw ôx du dx Oç dx dw dx

dia dF du ^ ^ ^ ^ dy ~~ du dy dv dy dw dy dta dF du àF dv dF dw dz du dz dç dz Ow dz ddi dF du dF dv dF dw dï ~ dû'ôl '^ ~dv Tt"^ dw 'dt'

En multipliant ces quatre équations par dx^ dy, dz, dt respectivement et les ajoutant, on a au premier membre

dtii . db) , doi , du> ,

-- dx -\- ~- dy -\- -— dz -^^ -^ dt, dx dy ^ dz dt

c'est-à-dire rfo), tandis que les coefficients de 3-» -r-y -r— sont ' T du dv dw

égaux respectivement à du, dv, dw. Il vient donc

/ N ^ àF , dF ^ dF ^

(9) au) = -- du -\- —- dv -T- -7— dw,

du dv dw