INTBGEATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. l'fy

Les fonctions qui figurent au second membre ont été appelées cosinus et sinus hyperboliques

fX i ^ — X fX {*~^

coshypjr^' > sinhypj: = ; ,

et nous pouvons écrire

X T= a cos hyp 7- > v = 6 sin h vp — r • ""^ ao "^ "^ ab

Les fonctions hyperboliques jouissent de propriétés analogues à celles des fonctions trigonométriques (i); ainsi Ton a

cos*hyp^ — sin'h} par = i,

coshyp(a?H- r)= coshypxcoshypjKH- sinhyp^rsinhyp^, sinhyp(jr-hj^M = sin hyp ar cos hyp j' -4- sinhypj' cos hyp j*.

On trouverait de même que les coordonnées d*un point d'une ellipse, exprimées au moyen de l'aire du secteur, sont données par les formules

aS , . aS

ab -^ ab

Dans le cas du cercle de rayon un et dans le cas de l'hyperbole équilatère, de demi-axe égal à un, ces formules deviennent respectivement

j" = cos*2S, i==sin2S;

^ = coshypaS, ^' = sinhypaS;

les fonctions hyperboliques jouent le même rôle pour l'hyperbole équilalère que les fonctions trigonométriques pour le cercle.

i07. Rectiflcation de la parabole. — Proposons-nous de trouver la longueur de l'arc de la parabole 'kpy = a*', compris entre le sommet O et un point M; on a

on, en appliquant la formule ('2),

arcOM = —^ — -t- -Ioî^ '^^ )•

Le terme algébrique du second membre représente précisément la lon-

(*) On trouvera, dans le Recueil des formules numériques de HoucI, une Table donnant les logarithmes de ces fonctions pour des valeurs positives de l'argument.

gueur MT de la tangente ; on sait en effet que OT = — ; on a donc

MT» = r2 -H — = — -H — = ^^^^^-^P^) . 4 4/>' 4 4/>*

Joignons le point T au foyer F; Tangle MTF est droit et l'on a

On déduit de là une propriété curieuse de la parabole.

Imaginons que la parabole roule sans glisser sur Taxe Oa: et cherchons le lieu décrit par le foyer, supposé invariablement lié à la parabole.

Fig. 22.

Quand la parabole est tangente en M' à Taxe Oa?, on a OM' = arc OM; le point T est venu au point T', tel que M'T'= MT et le foyer F est venu au point F' obtenu en portant une longueur T'F' = TF sur la parallèle à Oy. Les coordonnées X, Y du point F' ont les valeurs suivantes :

X = arcOM-MT = |log(^ltA^^±^), Y=TF= i /«î-h:r»,

et Ton obtiendra l'équation du lieu décrit par le foyer en éliminant x entre ces deux relations. De la première on tire

et l'on peut joindre à cette équation

ïX

X — /jr'-h/>* r= —pe P^ car le produit des premiers membres est égal à — p-. En les retranchant,