I. — INTEGRATION DBS FONCTIONS BATIONNELLBS

il vient

et Inéquation cherchée est

îX ÎX

/ îX ÎX\ V

Y = ^ U '' H- « p)= - cos hyp

Il est facile de construire cette courbe, qui porte le nom de chatnette; elle a une forme analogue à celle de la parabole.

108. Courbes unicursales. — Considérons maintenant d^une façon générale les intégrales de fonctions algébriques. Soient

Péquation d'une courbe algébrique, et R(^, y) une fonction rationnelle de a; et de ^; imaginons que dans R(a;,^) on remplacer^ p£ir une des racines de Téquation (6); le résultat est fonction de la seule variable x et l'intégrale

K{x,y)dx

est une intégrale abélienne attachée à la courbe (6). Lorsque la courbe donnée et la fonction R(x, y) sont quelconques, ces intégrales sont des fonctions transcendantes. Mais, dans le cas particulier où la courbe est unicursale, c'est-à-dire où les coordonnées ^ et ^ d'un point de cette courbe peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'un paramètre variable ^, les intégrales abéliennes attachées à cette courbe se ramènent immédiatement à des intégrales de fonctions rationnelles. Soient en effet

les expressions des coordonnées :r et ^ en fonction de ^; en prenant t pour nouvelle variable indépendante, on a

fR(x,y)dx=jR[f{t), ^(t)]f(t)dt,

et la nouvelle fonction à intégrer est évidemment rationnelle. On démontre dans les Cours de Géométrie analytique {*) que

(') Voir par exemple Niewenqlowski, Cours de Géométrie analytique, t. II, P-99-"4.

25û CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINIES.

toute courbe unicursale de degré n possède - — "~^ — - points

doubles, et que réciproquement toute courbe de degré n possédant ce nombre de points doubles est unicursale. Je rappellerai seulement comment on peut obtenir les expressions des coordonnées en fonction du paramètre auxiliaire. Étant donnée une courbe €«

de degré n, possédant S =: v^^'a^""-^^ points doubles, par ces

8 points doubles et /z — 3 points simples de On faisons passer un faisceau de courbes de degré n — a ; ces points déterminent bien un faisceau de courbes de degré n — 2, car

et il faut — points pour déterminer une courbe de

degré n — 2. Soit P(x, y) 4- ^Q(^j j) = o l'équation des courbes de ce faisceau, t désignant un paramètre arbitraire; chaque courbe du faisceau rencontre la courbe C^ en n{n — 2) points, dont un certain nombre sont indépendants de ^, les n — 3 points simples choisis et les 8 points doubles dont chacun compte pour deux points d'intersection. Mais on a

il reste donc un seul point d'intersection variable avec /. Les coordonnées de ce point sont données par des équations du premier degré dont les coefficients sont des poljnomes entiers en t\ ces coordonnées sont donc elles-mêmes des fonctions rationnelles de t. On pourrait aussi employer un faisceau de courbes de degré

n — I passant par les v^~'a^--^; points doubles et 2//— 3 points simples pris à volonté sur On,

Si n^=2, on a 'M^ — ^) __ ^ iq^iq courbe du second

degré est donc unicursale, comme on l'a déjà observé. Si /2 = 3,

on ^' 5^ '- r^'i: les courbes unicursales du troisième

degré sont donc celles qui ont un point double. Le point double

étant pris pour origine, l'équation de la cubique est de la forme