I. — INTEGRATION DBS FONCTIONS RATIONNELLES. a5l

(ps et cp3 étant des poljrnomes homogènes d'un degré marqué par leur indice. Une sécante^' = tx passant par le point double rencontre la cubique en un seul point variable avec t^ dont les coordonnées sont

Une courbe unicursale du quatrième degré possède trois points doubles. Pour avoir les coordonnées d'un point, on formera l'équation d'un faisceau de coniques passant par les trois points doubles et par un autre point simple pris à volonté sur la courbe. Chaque conique de ce faisceau rencontre la quartique en un seul point variable avec le paramètre; si l'on forme, par exemple, l'équation aux abscisses des points d'intersection, cette équation, débarrassée des facteurs qui correspondent aux racines connues, se réduira au premier degré et donnera x en fonction rationnelle du paramètre. On opérera de même pour j^.

Prenons par exemple la lemniscate

qui a un point double à l'origine et qui admet en outre pour points doubles les points circulaires à l'infini. Un cercle passant par l'origine et tangent en ce point à une des branches de la lemniscate

rencontre cette courbe en un seul point variable avec t. Une combinaison facile de ces deux équations donne

et, en divisant par x — y^ il reste

cette dernière équation représente une droite passant par l'origine, qui coupe le cercle en un point différent de l'origine, dont les coordonnées sont

Oq arrive encore plus vite à ces formules par la mélhode suivante qui est applicable à toute courbe unicursale du quatrième ordre dont on connaît un point double. Coupons la lemniscate par la sécante jK = 5.^; elle rencontre la courbe en deux points de coordonnées

=hav/i — X» .

Le polynôme sous le radical est du second degré et, pour faire disparaître Tirrationalité, il suffira (n" 105) de poser ' > =(j\ y ce qui conduit bien aux formules précédentes.

Remarque. — Lorsqu'une courbe plane admet des points singuliers d'espèce supérieure, on démontre que chacun d'eux est équivalent à un certain nombre de points doubles distincts. Pour qu'une courbe soit unicursale, il suffît que ses points singuliers

soient équivalents à - — "^^-^ — ^^— ^ points doubles. Par exemple,

une courbe de degré n ayant un point multiple d'ordre n — i est unicursale, car une sécante issue du point multiple la rencontre en un seul point variable.

109. Intégrales de différentielles binômes. — Parmi les autres intégrales d'où l'on peut faire disparaître l'irrationalité facilement, citons encore les suivantes

I Rlx, {ax-^ b)^ Jdx, j R (a-, ^ax -h 6, /car h- d) dx, rR(a7«, a?a', x'^\ .,.)dx,

R étant une fonction rationnelle et les exposants a, a', a", ... étant commensurables. Dans la première intégrale, il suffit de poser ax -\- b= t'f', si l'on pose de même, dans la seconde,

ax -h b = /*,

on n'aura plus qu'un radical carré portant sur un polynôme du second degré, et un nouveau changement de variable fera disparaître ce radical. Enfin, dans la troisième intégrale, on peut poser